ここでも二項定理を使う。
1. の証明: a > 1 ⇒ n√a > 1. そこで n√a = 1 + αn と置くと αn > 0. 又 Bernoulli の不等式 (或いは二項定理を第二項で打ち切ったもの) により n > 2 の時
a = (1 + αn)n > 1 + nαn.
故に 0 < αn < (a - 1)/n → 0 (as n → ∞). 従って n√a = 1 + αn → 1 (as n → ∞).
a = 1 ならば明らか。 0 < a < 1 ならば a = 1/b と置くと, b > 1 で
n√a = n√(1/b) = 1/n√b → 1/1 = 1 (as n → ∞).
2. の証明: n > 1 として良い。 このとき明らかに n√n > 1 であるので, 1 の証明と同様,
n√n = 1 + αn と置くと αn > 0 であるから, 二項定理の第三項だけを用いて
n = (1 + αn)n > n(n - 1)αn2/2.
故に 0 < αn2 < 2/(n - 1) → 0 (as n → ∞). 従って αn → 0 (as n → ∞). だから n√n = 1 + αn → 1 (as n → ∞).
2. については具体的に n ≧ 3 ⇒ n < (1 + √(2/n))n が成り立つことが示せるので, それから示しても良い。
実際, 二項定理から, 第三項までで打ち切ると
(1 + √(2/n))n ≧ 1 + n√(2/n) + (n(n - 1)/2)√(2/n)2 = 1 + √(2n) + n - 1 > n.
ここから 1 < n√n < 1 + √(2/n) → 1 (as n → ∞).