VI 型 [その他]

その他:

i) 対数をとる (a_n > 0 を忘れずに)。
ii) S_n = Σ_k=1ⁿ a_k を含むとき → a_n = S_n - S_n-1, n ≧ 2.
iii) 数学的帰納法

例題:

(1) a₁ = 1, a₂ = 2; .

(2) a₁ = 1, a_n+1 = S_n + n + 1, 但し S_n = Σ_k=1ⁿ a_k.

解

(1) a₁, a₂  > 0 で 「a_n > 0, a_n+1 > 0 ⇒ > 0」 だから数学的帰納法により ∀n(a_n > 0). 両辺の 2 (= a₂) を底とする対数をとると (√ は 1/2 乗だから)

log₂ a_n+2 = (1/2)log₂ (a_n・a_n+1) = (1/2)(log₂ a_n + log₂ a_n+1)
2log₂ a_n+2 = log₂ a_n + log₂ a_n+1
2log₂ a_n+2 - log₂ a_n - log₂ a_n+1 = 0 … type III.

よって 2t² - t - 1 = 0 と置く。 (2t + 1)(t - 1) = 0 より t = -1/2, 1.

先ず

log₂ a_n+2 - log₂ a_n+1 = (-1/2)(log₂ a_n+1 - log₂ a_n).
∴log₂ a_n+1 - log₂ a_n = (-1/2)^n-1(log₂ a₂ - log₂ a₁) = (-1/2)^n-1 … (a)

次に

log₂ a_n+2 + (1/2)log₂ a_n+1 = log₂ a_n+1 + (1/2)log₂ a_n.
∴log₂ a_n+1 + (1/2)log₂ a_n = log₂ a₂ + (1/2) log₂ a₁ = 1 … (b)

(b) - (a): (3/2)log₂ a_n = 1 - (-1/2)^n-1.
∴log₂ a_n = (2/3)(1 - (-1/2)^n-1).

.

(2) a_n+1 = S_n + n + 1 の番号を一つ下げて

a_n = S_n-1 + n, n ≧ 2.

辺々引算して

a_n+1 - a_n = S_n - S_n-1 + 1.
∴a_n+1 - a_n = a_n + 1, n ≧ 2.
∴a_n+1 = 2a_n + 1, n ≧ 2 … type I.

∴ a_n+1 + 1 = 2(a_n + 1), n ≧ 2.
∴a_n + 1 = 2^n-2(a₂ + 1) = 2^n-2・4 = 2ⁿ.
(∵a₂ = S₁ + 1 + 1 = a₁ + 2 = 3)

∴ a_n = 2ⁿ - 1 (この式は n = 1 の場合をも含む).

練習:

(1) a₁ = 1, a₂ = 3; a_n+2/a_n+1 = (a_n+1/a_n)².

(2) S_n = -7 + 2n - a_n.

答:

(1) .

(2) a_n = -9/2ⁿ + 2. (hint: n = 1 の時 S₁ = a₁.)

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