内積を成分で表そう。
標準基底と成分で定義したように
|ex| = |ey| = 1
であり, 座標平面の定義から ex・ey = 0 である。 従って
a = (a1, a2), b = (b1, b2)
と置くと, 分配法則から
a・b = (a1ex + a2ey)・(b1ex +
b2ey) = a1b1|ex|2
+ (a1b2 + a2b1)ex・ey
+ a2b2|ey|2
= a1b1 + a2b2
となる。 標語的にいえば 「成分同士の積をとってから全部足したもの」 が内積である。