この page でも係数体は R とする (C の時は双線型性の定義が異なるから)。
前の page では a・b = taI2b であることを確かめた。 ここでは I2 を一般の行列にしたものを考えよう。 つまり
BA(a, b) = taAb = a・(Ab)
である。 この時 k を scalar として, 明らかに
BA(a1 + a2,
b) = BA(a1, b) + BA(a2,
b),
BA(a, b1 + b2)
= BA(a, b1) + BA(a,
b2),
BA(ka, b) = BA(a,
kb) = kBA(a, b)
が成立する。 この三つを合わせて, BA の双線型性 bilinearity といい, BA を行列 A の定める双線型形式 bilinear form という。
双線型形式の a と b が同じであるもの, 即ち
QA(x) = BA(x, x) = x・(Ax) = txAx
を行列 A の定める二次形式 quadratic form という。 ここで A = (ajk), x = (xj) として書き下すと
| QA(x) = (x1 x2) | ( | a11 a12 | )( | x1 | ) | = (x1 x2) | ( | a11x1 + a12x2 | ) |
| a21 a22 | x2 | a21x1 + a22x2 |
= a11x12 + a12x1x2 + a21x1x2
+ a22x22
= a11x12 + (a12 + a21)x1x2
+ a22x22.
| 従って, S = | ( | a11 (a12 + a21)/2 | ) | という行列を考えてみると |
| (a12 + a21)/2 a22 |
QA = QS となることが分かる。 今後二次形式はこのような行列 S で表されているものとしよう。 この行列 S は tS = S という特徴をもっており, BS(x, y) = BS(y, x) が成立することからも対称行列 symmetric matrix と呼ばれている。
今, 対称行列 S を
| S = | ( | a b | ) |
| b c |
と置く。 これは QS(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 と置いたのと同じである (x = (x, y) である)。
さて, これから S の固有値と固有ベクトルを求めよう。 定義から S の固有方程式は
| ΦS(t) = det | ( | t - a -b | ) |
| -b t - c |
= (t - a)(t - c) - b2
= t2 - (a + b)t + ac - b2 = 0.
従って
t = (a + c ± √((a + c)2 - 4(ac - b2)))/2
= (a + c ± √((a - c)2 + 4b2)/2
が固有値である。 今 a, b, c ∈ R であるから (a - c)2 + 4b2 ≧ 0. 従って二次対称行列の固有値は二つとも実数である。
先ず t = (a + c + √((a - c)2 + 4b2)/2 としよう。 この時, これに対応する固有ベクトルを p1 とすると, 定義より (tI2 - S)p1 = 0 即ち
| (1/2) | ( | -a + c + √((a - c)2 + 4b2) -2b | ) | p1 = 0. |
| -2b a - c + √((a - c)2 + 4b2) |
従って, その一つとして
| p1 = | ( |
2b |
) |
| -a + c + √((a - c)2 + 4b2) |
があるが, e1 = p1/|p1| と置くと, これも固有ベクトルであることは直ぐに分かる。 又今度は t = (a + c - √((a - c)2 + 4b2)/2 と置くと, 同様に
| (1/2) | ( | -a + c - √((a - c)2 + 4b2) -2b | ) | p2 = 0 |
| -2b a - c - √((a - c)2 + 4b2) |
だから, 固有ベクトルの一つとして
| p1 = | ( | a - c + √((a - c)2 + 4b2) | ) |
|
2b |
があるが, e2 = p2/|p2| とすればこれも固有ベクトルの一つであって, 直ぐ分かるように,
|e1| = |e2| = 1, e1⊥e2
であるから, P = (e1 e2) と置くと, これは正則な直交行列で x' = Px という変換をすると
QS(x') = QS(Px) = t(Px)S(Px) = tx(tPSP)x
| = tx | ( | (a + c + √((a - c)2 + 4b2)/2 0 | ) | x |
| 0 (a + c - √((a - c)2 + 4b2)/2 |
= (a + c + √((a - c)2 + 4b2)(x1)2/2 + (a + c - √((a - c)2 + 4b2)(x2)2/2.
以上より, 全ての二次形式は適当な直交変換によって, 標準形
α1(x1)2 + α2(x2)2, α1, α2 ∈ R
に変換されることが分かった。