ここでも実数の範囲で考えている。
方程式 ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, (a, b, c) ≠ 0 で表される曲線を二次曲線 quadratic curve (円錐曲線 conics) という。 これは
| (x y) | ( | a h | )( | x | ) | + 2(g f) | ( | x | ) | + c = 0 |
| h b | y | y |
| 即ち S = | ( | a h | ) |
| h b |
と置くとき QS(x y) + 2(g f)t(x y) + c = 0 と書ける。 直ぐ前の page により, 適当な直交変換を施すと, これは
a'x'2 + b'y'2 + 2g'x' + 2f'y' + c = 0, a'2 + b'2 ≠ 0
と言う形になる。
先ず a' = 0 としよう。 この時方程式は b'y'2 + 2g'x' + 2f'y' + c = 0, b' ≠ 0 という形になる。 即ち
b'(y' + f'/b')2 + 2g'x' + c - f'2/b' = 0.
| g' = 0 ⇒ | c - f'2/b' = 0 ⇒ 直線 y' = -f'/b'. | |
| c - f'2/b' ≠ 0 ⇒ | b'(c - f'2/b') > 0 ⇒ 空集合 | |
| b'(c - f'2/b') < 0 ⇒ 平行な二直線 | ||
| g' ≠ 0 ⇒ 放物線 | ||
b' = 0 の場合も同様である。
次に a' ≠ 0, b' ≠ 0 としよう。 この時, 平方完成することにより方程式は a'x"2 + b'y"2 + c' = 0 という形になる。 この時
| a' >0, b' > 0 ⇒ | c' > 0 ⇒ 空集合 | |
| c' = 0 ⇒ 一点 | ||
| c' < 0 ⇒ | a' = b' ⇒ 円 | |
| a' ≠ b' ⇒ 楕円 | ||
| a' < 0, b' < 0 も同様 | ||
| a'b' < 0 ⇒ 双曲線 | ||