第一問 (必答 40 点)
[1] a, b を実数とし, 二次函数
y = 4x2 - 8x + 5 ………①
y = -2(x + a)2 + b …… ②
の表す放物線をそれぞれ C1, C2 とする。
(1) C1 の頂点と C2 の頂点が一致するとき, a = [アイ], b = [ウ] である。
(2) ① について, y = 17 となる x の値は [エオ] と [カ]
である。
② についても, y = 17 となる x の値が [エオ] と [カ]
であるとすると, C2 の軸は直線 x = [キ] で,
頂点の座標は ([キ], [クケ]) である。
(3) C1 を x 軸方向に, c, y 軸方向に -4c だけ平行移動したとき, y 軸と点 (0, 4) で交わるならば c = [コサ]/[シ] である。 このとき, 移動した放物線を表す二次函数の最小値は ① の最小値より [ス] だけ大きい。
[2] 赤玉 3 個, 青玉 2 個, 黄玉 1 個が入っている袋から玉を 1 個取り出し, 色を確かめてから袋に戻す。 このような試行を最大で 3 回まで繰り返す。 但し, 赤玉を取り出したときは以後の試行を行わない。
(1) 試行が 1 回又は 2 回で終わる確率は [セ]/[ト] である。
(2) 試行が 1 回行われる毎に 100 円受け取るとする。 受け取る金額の期待値は [タチツ] 円である。
(3) 青玉が丁度 2 回取り出される確率は [テ]/[ト] である。
(4) 黄玉が少なくとも一回取り出される確率は [ナニ]/[ヌネ] である。
第二問 (必答 40 点)
[1] a を実数とし, x の整式 A, B を
A = x3 + 5x2 + a2x + a2 - 6a + 20
B = x3 + (a2 + 5)x + a2 - 6a + 30
とする。 このとき
A - B = 5(x + [ア])(x - [イ])
である。
(1) P = x + [ア] とし, A が P で割り切れるとする。 このとき
a = [ウ], A = (x2 + 4x + [エオ])P
である。 更に
B = (x2 - x + [カキ])P
であり, A, B は共に P で割り切れる。
(2) Q = x - [イ] とすると, A を Q で割った余り R は
R = [ク](a - 1)2 + 45
となる。よって, どんな a についても余り R は正となり, A
は Q で割り切れない。
[2] 図のように交わる二円 O, O' がある。
この図において A, B は二円の交点, C は直線 OO' と円 O'
の交点, D は直線 CB と円 O の交点である。 更に sin ∠ABC =
(2√5)/5, AB = 3, BD = √5 とする。 このとき
cos∠ABD = ([ケ]√[コ])/[サ], AD = [シ]√[ス]
となり, 円 O の半径 OA は [セ]/[ソ] である。 又円 O' の半径
O'A は [タチ]/[ツ] である。 更に二円の中心間の距離は OO' =
[テト]/[ナ] となる。
以下の第三問から第五問までは選択問題である。 1 問のみ選択して答えること。
第三問 (選択 20 点)
(1) 数列 {an} を次のように定める。 a1 = 2, a2 = 3, an + 2 - an = 4 (n = 1, 2, 3, ......).
このとき, a3 = [ア], a4 = [イ], a5 = [ウエ], a6 = [オカ] であり, a40 = [キク] である。
又 
= [ケコサシ]
である。
(2) 数列 {bn} の各項から定数 c を引いて得られる数列は, 公比 2 の等比数列である。 b3 = 7, b4 = 11 であるとき, c = [ス], b1 = [セ] である。
又, 
= [ソタチツ]
である。
第四問 (選択 20 点)
半径 1 の円 O の直径 AB によって分けられる半円周上を動く点 C がある。 △ABC の内接円の中心を D とし, 線分 CD の園長と円 O の交点を E とする。
次の文章中の [アイウ] と [クケコ] については, 当てはまる文字を A～E の内から選べ。 但し, アとウ, クとコは解答の順序を問わない。
点 D の軌跡を調べよう。 D は△ABC の内心であるから,
∠ACD = (1/2)∠[アイウ]
であり, ∠ABE = ∠ACE により, ∠ABE = [エオ]° となる。 よって
A, B が定点であるから, E は定点であることが分かる。 次に
△EBD に於いて,
∠EDB = ∠DCB + ∠DBC, ∠EBD = ∠ABE + ∠DBA
に注意すると,
∠EDB = [カキ]° + (1/2)∠[クケコ] = ∠EBD
となる。 従って, △EBD は二等辺三角形で ED = EB である。
これにより D の軌跡は E を中心とした半径 √[サ]
の円弧であることが分かる。
△ABC の内接円の半径を r とし, E からこのない接円に引いた接線の接点と E 戸の距離を l とする。 l2 = [シ] - r2 であるから, ∠ABC = [スセ]°のとき l は最小となり, そのとき l2 = [ソ]√[タ] - [チ] である。
第五問 (選択 20 点)
(1) 次の流れ図を考える。 但し, N には自然数を入力することとする。
X = 2, N = 5 のとき, この流れ図にそって計算すると, Y は [アイ] となる。 又, X = 1, N = 13 のとき, この流れ図にそって計算すると, 処理 [Y に Y×X を代入] は [ウ] 回実行され, 処理 [X に X2 を代入] は [エ] 回実行される。
(2) 次のプログラムを考える。但し, N には自然数を入力することとする。 又, INT(A) は A を超えない最大の整数を与える函数とする。
100 INPUT "X ="; X
110 INPUT "N ="; N
120 Y = 1
130 X = X*X
140 IF N - 2*INT(N/2) = 0 THEN GOTO 160
150 Y = Y*X
160 N = INT(N/2)
170 IF N = 0 THEN GOTO 190
180 GOTO 140
190 PRINT "Y ="; Y
200 END
このプログラムを実行し, X に 2, N に 5 を入力すると, Y = [オカ] と表示される。
(3) (2) のプログラムを (1) の流れ図の処理を実行するプログラムに書き換えるためには, 130 行を削除し, [キ] 行として X = X*X を追加すればよい。但し, [キ] には次の 0 ～ 3 の内から当てはまるものを選べ。
0. 115
1. 145
2. 155
3. 175
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