第一問 (必答 30 点)
[1]
(1) f(θ) = sin(aθ) + (√3)cos(aθ) = 2sin(aθ + 60゜). (2 点)
(2) f(θ) = 0 とすると aθ + 60゜ = 180゜×n, n ∈ Z.
aθ = 180゜×n - 60゜.
θ = (180゜×n - 60゜)/a, n ∈ Z.
よって正で最小のものは n = 1 の時で θ = 120゜/a (3 点)
(3) 0゜ ≦ (-60゜ + 180゜×n)/a ≦ 180゜ とする。 a > 0 より
0 ≦ -60 + 180n ≦ 180a.
0 ≦ -1 + 3n ≦ 3a.
1 ≦ 3n ≦ 3a + 1.
1/3 ≦ n ≦ a + 1/3.
よって n が 4 までだから
4 ≦ a + 1/3 < 5.
11/3 ≦ a < 14/3. (左辺 3 点, 右辺 3 点)
[2] y = g(x) のグラフは y = f(x) のグラフを x 軸方向に -a だけ平行移動したものである (2 点)。
(1) F(x) = g(x) - f(x) = log2(x + a) - log2 x
= log2 ((x + a)/x) = log2 (1 + a/x).
F(2) = 1 ⇒ log2 (1 + a/2) = 1 (= log2 2)
1 + a/2 = 2.
a/2 = 1.
a = 2. (2 点)
F(1) = 2F(3)
⇒
log2 (1 + a) = 2log2 (1 + a/3)
= log2 (1 + a/3)2.
1 + a = 1 + 2a/3 + a2/9.
9a = 6a + a2
a2 - 3a = a(a -3) = 0.
a = 0, 3.
a > 0 より a = 3. (3 点)
h(x) = log4 (4x + b), b > 0.
g(1) = h(1)
⇒
log2 (1 + a) = log4 (4 + b).
(1 + a)2 = 4 + b.
更に
g(1/2) = h(1/2)
⇒
log2 (1/2 + a) = log4 (2 + b).
(1/2 + a)2 = 2 + b.
つまり
a2 + 2a + 1 = 4 + b,
a2 + a + 1/4 = 2 + b.
辺々引いて a + 3/4 = 2. 故に a = 5/4 (3 点).
b = a2 + a - 7/4 = 25/16 + 5/4 - 7/4 = 25/16 - 2/4 = (25 - 8)/16
= 17/16. (3 点)
底の変換公式を用いればもう少し別のやり方もあるが, 普通の教科書に出ているやり方に従った。
第二問 (必答 30 点)
(1) C1 は (a, 1) 中心, 半径 1 の円だから
(x - a)2 + (y - 1)2 = 1. (左辺 2 点, 右辺 2 点)
(2) y' = x より P(b, b2/2) に於ける C2 の接線 l の傾きは b である (3 点)。 従って l の方程式は
y = b(x - b) + b2/2
= bx - b2 + b2/2.
∴y = bx - (1/2)b2. (2 点)
P を通り l に直交する直線 m の方程式は
y = -(1/b)(x - b) + b2/2
= (-1/b)x + (1/2)b2 + 1 (傾き
3 点, y 切片 3 点).
(3) C1 の中心 (a, 1) が m 上にあるとすれば
1 = -a/b + b2/2 + 1
0 = -a/b + b2/2
0 = -a + b3/2.
a = (1/2)b3. (2 点)
更に C1 が P を通るとすれば
(b - a)2 + (b2/2 - 1)2 = 1.
(b - b3/2)2 + (b2/2 - 1)2 = 1.
b2 - b4 + b6/4 + b4/4 - b2
+ 1 = 1.
b6/4 - 3b4/4 = 0.
b > 0 より b2 - 3 = 0. 即ち b = √3. (3 点)
a = b3/2 = (3√3)/2. (2 点)
l の傾き b = √3 = tanθ, -90゜ ≦ θ ≦ 90゜ と置くと θ = 60゜. (2 点)
図より求める面積は
∫0√3 (x2/2) dx + (1/2)×(1 + 3/2) ×
(√3)/2 - π/3
= (1/2)×(1/3)[x3]0√3 + (5√3)/8 - π/3
= (3√3)/6 + (5√3)/8 - π/3 = (9√3)/8 - π/3.
(前半 4 点, 後半 2 点)
最後の面積を求めるところがある程度正確にグラフを描かないと難しい。 放物線と x 軸で囲まれる部分と, 台形を足した面積から 1/3 の円を引くのが味噌と言えば味噌。 1/3 円であることは l と x 軸の角度を求めたから分かる。
第三問 (選択 20 点)
本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。
(1) RQ = RP + PB + BQ
= (-(b + 1)/b)y - x + y
= -x - (1/b)y (2 点).
SP = SQ + QB + BP
= -(a + 1)x - y + x
= -ax - y. (2 点)
SB = SP + PB
= -ax - y - x
= -(a + 1)x - y. (2 点)
RB = RQ + QB
= -x - (1/b)y - y
= -x - (1 + 1/b)y. (2 点)
(2) SP・x = x・y = y・RQ.
(-ax - y)・x = x・y
= y・(-x - (1/b)y)
-a|x |2 - x・y = x・y
= -x・y -(1/b)|y|2.
-a|x |2 = 2x・y = -(1/b)|y|2.
∴x・y = (-a/2)|x |2 = -(1/(2b))|y|2.
(3) RQ || SB ⇔ ∃k[-x - (1/b)y = k(-(a
+ 1)x - y)]
SP || RB ⇔ ∃h[-ax - y = h(-x
- (1 + 1/b)y)].
x, y は一次独立 (平行でない) から,
1 = k(a + 1),
1/b = k,
a = h,
1 = (1 + 1/b)h.
最初二つの式から 1 = (a + 1)/b 即ち b = a + 1. 言い換えると a = b - 1.
後ろ二つの式から 1 = a(1 + 1/b) 即ち b = ab + a = a(b + 1).
代入して b = (b - 1)(b + 1).
b = b2 - 1.
b2 - b - 1 = 0.
b = (1 ± √(1 + 4))/2 = (1 ± √5)/2.
b > 0 より b = (1 + √5)/2. (3 点)
∴a = (-1 + √5)/2. (3 点)
(4) (2) より
|y|2/|x |2 = ab = ((√5 - 1)/2)((√5 + 1)/2) = (5 - 1)/4 = 1.
|y|/|x | > 1 より |y|/|x | = 1. (2 点)
x・y = |x ||y|cos ∠PBQ.
cos ∠PBQ = x・y/(|x ||y|)
= (-(1/2)・((√5 - 1)/2)・|x |2)/(|x
||y|)
= ((1 - √5)/4)(|y|/|x |) = (1 - √5)/4.
(2 点)
平行のところが一寸難しいかもしれないが, それほどでもない。
第四問 (選択 20 点)
(1) これは (vector として) za ⊥ zb ということだから a, b を直径の両端とする円を描く。 即ち
|z - (a + b)/2| = |a - b|/2. (左辺 2 点, 右辺 2 点)
(2) (x - 1)2 + 3 = 0. x = 1 ± (√3)i であるから, Im(α) > 0 より
α = 1 + (√3)i,
β = 1 - (√3)i.
従って arg α = 60゜ (2 点),
arg β = 300゜ (2 点).
α2 + β2 = (1 - 3 + (2√3)i) + (1 - 3 - (2√3)i) = -4. (2 点)
α2 - β2 = (4√3)i, (2 点).
従って α2, β2 を直径の両端に持つ円は
|z + 2| = 2√3. (左辺 2 点, 右辺 2 点)
c > 0 と置くと arg (ci) = 90゜ より
(z - α2)/(z - β2) = ci.
z - α2 = c(z - β2)i.
図を描いてみると分かるが
arg α2 < arg z < arg β2.
なので
120゜ < arg z < 240゜ (左辺 2 点, 右辺 2 点)
最初の式が円であることが分からないと, この問題は多分出来ない。
第五問 (選択 20 点)
(1) P(X = 4) = 14/50 = 7/25. (2 点)
P(X = 4 & Y = 3) = 7/50. (1 点)
P(X ≧ 3) = 35/50 = 7/10. (2 点)
PX ≧ 3(Y = 3) = 8/35. (3 点)
(2) a + b + 12 = 15. ∴a + b = 3. (1 点)
P(X = 2) = 10/50 = 1/5 (2 点)
E(X) = 5 × 6/50 + 4 ×14/50 + 3 × 15/50 + 2 × 1/5 + 1 × 5/50
= (30 + 56 + 45 + 20 + 5)/50 = 156/50 = 78/25. (2 点)
E(Y) = 5 × 5/50 + 4 × (4 + b)/50 + 3 × 15/50 + 2 × 15/50 + 1 × (8 +a)/50
= (25 + 16 + 4b + 45 + 30 + 8 + a)/50
= (a + 4b + 124)/50 = 133/50.
従って
a + 4b = 9 だが
a + b = 3 だったから, 辺々引いて
3b = 6 より b = 2. よって a = 1. (2 点)
(3) P(X = 2 & Y = 4) = P(X = 2)P(Y = 4).
b/50 = (a + b + 7)/50 × (4 + b)/50
= (1/5)×(4 + b)/50.
故に 5b = 4 + b. 4b = 4 より b = 1. よって a = 2. (3 点)
E(Y) = (2 + 4 + 124)/50 = (1 + 2 + 62)/25 = 65/25 = 13/5. (2 点)
計算は一見面倒に見えるが, 数学 I の問題より遙かに簡単。 只 「事象の独立」 とは何であったかを覚えていないと厳しいかも。
第六問 (選択 20 点)
a1 = a, ai+1 ≡ aia (mod p)
ということである。
(1) ai = 1 になればその i を印字し, どの i に対しても ai ≠ 1 ならば 0 を出力する program である。 Program 中 B が ai になっているので
ア 2, イ 1, ウ 6, エ 4 (各 2 点)
(2) f(1) = 1 (1 点).
a1 = 2,
a2 = 4,
a3 = 8 ≡ 1 (mod 7) だから f(2) = 3. (1 点)
a1 = 3,
a2 = 9 ≡ 2 (mod 7),
a3 = 6,
a4 = 18 ≡4 (mod 7),
a5 = 12 ≡5 (mod 7),
a6 = 15 ≡1 (mod 7) だから f(3) = 6. (2 点)
a1 = 4,
a2 = 16 ≡ 2 (mod 7),
a3 = 8 ≡1 (mod 7) だから f(4) = 3. (2 点)
(3) 大体において番号が 1 ずれるとして良い。 面倒なので, 数列の方の番号を予め 1 ずらしておく。
f(1) = 1 (1 点)
a0 = 2,
a1 = 4,
a2 = 8,
a3 = 16 ≡ 7 (mod 9),
a4 = 14 ≡ 5 (mod 9),
a5 = 10 ≡ 1 (mod 9) だから f(2) = 5. (2 点)
a0 = 3,
a1 = 9 ≡ 0 (mod 9) 以下全部 0 になるから f(3) = 0.
(2 点)
a0 = 4,
a1 = 16 ≡ 7 (mod 9),
a2 = 28 ≡ 1 (mod 9) だから f(4) = 2. (1 点)
この問題は Fermat (フェルマ) の小定理と関係している。 つまり p が素数なら
ap ≡ a (mod p)
又 1 ≦ a ≦ p - 1 ならば ap-1 ≡ 1 (mod p) が言える。
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