第一問 (必答 30 点)
[1] a を正の定数とし, 角 θ の函数 f(θ) = sin(aθ) + (√3)cos(aθ) を考える。
(1) f(θ) = [ ア ] sin(aθ + [ イウ ]゜) である。
(2) f(θ) = 0 を満たす正の角 θ の内, 最小のものは [ エオカ ]゜/a であり, 小さい方から数えて 4 番目と 5 番目のものは, それぞれ [ キクケ ]゜/a, [ コサシ ]゜/a である。
(3) 0゜ ≦ θ ≦ 180゜ の範囲で, f(θ) = 0 を満たす θ が丁度 4 個存在するような a の範囲は [ スセ ]/[ ソ ] ≦ a < [ タチ ]/[ ツ ] である。
[2] 対数函数 f(x) = log2 x, g(x) = log2(x + a) について考える。 函数 y = g(x) のグラフは, 函数 y = f(x) のグラフを x 軸方向に [ テト ] だけ平行移動したものである。 但し a > 0 とする。
(1) F(x) = g(x) - f(x) とする。
F(2) = 1 となるのは a = [ ナ ] の時である。
F(1) = 2F(3) となるのは, a = [ ニ ] の時である。
(2) 次に h(x) = log4 (4x + b) (b > 0) とする。
g(1) = h(1), g(1/2) = h(1/2) となるのは
a = [ ヌ ]/[ ネ ], b = [ ノハ ]/[ ヒフ ] の時である。
第二問 (必答 30 点)
座標平面において, 点 (a, 1) を中心とし, x 軸に接する円を C1 とする。 又, 放物線 y = (1/2)x2 を C2 とし, C2 上に点 P(b, (1/2)b2) をとる。 但し, a > 0, b > 0 とする。
(1) C1 の方程式は (x - [ ア ])2 + (y - [ イ ])2 = [ ウ ] である。
(2) P に於ける C2 の接線 l の傾きは [ エ ] である。 従って, l の方程式は
y = [ エ ]x - ([ オ ]/[ カ ])b[ キ ]
である。 又, P を通り, l に直交する直線 m の方程式は
y = ([ クケ ]/[ コ ])x + ([ サ ]/[ シ ])b[ ス ] + [ セ ] である。
(3) C1 の中心が m 上にあるとする。 このとき a = ([ ソ ]/[ タ ])b[ チ ] が成り立つ。更に, C1 が P を通るとき b = √[ ツ ], a = ([ テ ]√[ ト ])/2 である。
このとき, C1 は P に於いて l に接し, l と x 軸の成す角は [ ナニ ]゜ である。 又, 二直線 x = 0, x = a の間にあって, C1 と C2 と x 軸の三つで囲まれた部分の面積は
([ ヌ ]√[ ネ ])/[ ノ ]/[ ハ ] である。
第三問 (選択 20 点)
本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。
平行四辺形 ABCD に於て, 辺 AB を a : 1 に内分する点を P, 辺 BC を b : 1 に内分する点を Q とする。 辺 CD 上の点 R 及び辺 DA 上の点 S をそれぞれ PR || BC, SQ || AB となるようにとり, x = BP, y = BQ と置く。
(1) 五角形 PBQRS の辺 PQ, SP 及び対角線 SB, RB が表すベクトルは x, y を用いて
RQ
= -x - ([ ア ]/[ イ ])y,
SP
= [ ウエ ]x - y,
SB
= -([ オ ] + [ カ ])x - y,
RB
= -x - ([ キ ] + [ ク ]/[ ケ ])y となる。
(2) SP・x = x・y = y・RQ が成り立つとする。 このとき
x・y = - ([ コ ]/[ サ ]) |x |2 = - (1/[ シス ]) |y|2 である。
(3) RQ || SB 及び SP|| RB が成り立つとする。 このとき
a = ([ セソ ] + √[ タ ])/[ チ ], b = ([ ツ ] + √[ テ ])/[ ト ] である。
(4) (2) と (3) の条件が同時に成り立つとき
|y|/|x | = [ ナ ] であるから cos∠PBQ = ([ ニ ] - √[ ヌ ])/[ ネ ] を得る。
第四問 (選択 20 点)
(1) 相異なる二つの複素数 a, b に対して arg((z - a)/(z - b)) = ±90゜ を満たす z は, 複素数平面上の, ある円の周上にある。 この円は a, b を用いて
|z - ([ ア ] + [ イ ])/[ ウ ]| = |[ エ ] - [ オ ]|/[ カ ] で表される。
但し, arg z は複素数 z の偏角を表す。
(2) 以下, 複素数の偏角は 0゜ 以上 360゜ 未満とする。
二次方程式 x2 - 2x + 4 = 0 の二つの解を α, β とする。 但し α の虚部は正とする。 このとき
arg α = [ キク ]゜, arg
β = [ ケコサ ]゜,
α2 + β2 = [ シス ], α2 - β2 =
([ セ ]√[ ソ ])i
である。 従って arg((z - α2)/(z - β2)) = 90゜ を満たす z が描く図形は
|z + [ タ ]| = [ チ ]√[ ツ ] で表される円のうち [ テトナ ]゜ < arg z < [ ニヌネ ]゜ を満たす部分である。
第五問 (選択 20 点)
次の表はあるクラスの英語と数学の成績の分布である。 生徒数は 50 人で, 成績は 1 から 5 までの 5 段階評価である。 例えば,この表によると英語の成績が 4, 数学の成績が 2 の生徒の数は 5 人である。
| Y X |
数学 |
|||||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
| 英
語 |
5 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 7 | 5 | 1 | |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 9 | 3 | |
| 2 | 1 | b | 6 | 0 | a | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
このクラスの全員の名札 50 枚を良く混ぜて, 一枚を取りだし, その名札の生徒の英語の成績を X, 数学の成績を Y として確立変数 X, Y を定める。 但し, 同姓同名の生徒はいないものとする。
(1) X = 4 となる確率は [ ア ]/[ イウ ] である。
X = 4 且つ Y = 3 となる確率は [ エ ]/[ オカ ] である。
X ≧ 3 となる確率は [ キ ]/[ クケ ] である。
X ≧ 3 という条件の下で Y = 3 となる条件付き確率は [ コ ]/[
サシ ] である。
(2) a + b = [ ス ] であり, X = 2 となる確率は [ セ ]/[ ソ ] で X の平均 (期待値) は [ タチ ]/[ ツテ ] である。
(3) Y の平均が 133/50 であれば a = [ ト ], b = [ ナ ] である。
(4) X = 2 という事象と Y = 4 という事象が独立であれば a = [ ニ ], b = [ ヌ ] であり, Y の平均は [ ネノ ]/[ ハ ] である。
第六問 (選択 20 点)
p を 3 以上の自然数とする。 1 以上 p - 1 以下の各自然数 a に対して, 数の列 a1, a2, ..., ap-1 を次のように決める。
又, 各 a に対して f(a) を次のように決める。
p の値を入力して f(1), f(2), ..., f(p - 1) を出力させるプログラムを考えたい。
[方針]
数の列 a1, a2, ..., ap-1 を上の規則によって決めていく過程で [ ア ] になればその i を出力して FOR ループを抜け出す。 1 から p - 1 のどの i に対しても [ イ ] ならば 0 を出力する。
この方針に従って, 次のプログラムを書いた。
100 INPUT "P = "; P
110 FOR A = 1 TO P - 1
120 [ ウ ]
130 FOR I = 1 TO P - 1
140 IF [ エ ] THEN PRINT "f(";A;") = ";I: GOTO 180
150 B = A*B - P*INT(A*B/P)
160 NEXT I
170 PRINT "f(";A;") = 0"
180 NEXT A
190 END注意: INT(X) は, X を越えない最大の整数を表す函数である。
(1) 上の [ ア ] から [ エ ] に適するものを, 次の 1 -- 7 のうちから一つずつ選べ。
1. ai ≠ 1, 2. ai = 1, 3. B = 0, 4. B = 1, 5. B <> 0, 6. B = A, 7. A = B.
(2) このプログラムを実行する。 表示 P = ? に対して 7 を入力したとき, 初めの 4 行は f(1) = [ オ ], f(2) = [ カ ], f(3) = [ キ ], f(4) = [ ク ] と出力される。
(3) 上のプログラムで 140 行と 150 行を入れ替えたプログラムを実行させ P = ? に対して 9 を入力すると, 初めの 4 行は f(1) = [ ケ ], f(2) = [ コ ], f(3) = [ サ ], f(4) = [ シ ] となり, 意図した結果とは異なるものが出力される。
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