2003 年数学 I ・ A 問題

第一問 (必答 40 点)

[1] 二次函数

y = -2x² + ax + b

のグラフを C とする。 C は頂点の座標が

(a/[ ア ], a²/[ イ ] + b)

の放物線である。 C が点 (3, -8) を通るとき,

b = [ ウエ ]a + 10

が成り立つ。このときのグラフ C を考える。

(1) C が x 軸と接するとき, a = [ オ ] 又は a = [ カキ ] である。
a = [ カキ ] のときの放物線は, a = [ オ ] のときの放物線を x 軸方向に [ ク ] だけ平行移動したものである。

(2) C の頂点の y 座標が最小になるのは, a = [ ケコ ] のときで, このときの最小値は [ サシ ] である。

[2]

一辺の長さが 1 の立方体の八個の頂点 A, B, C, D, E, F, G, H が図のような一関係にあるとする。この八個の頂点から相異なる頂点を選び, それらを頂点とする三角形を作る。

(1) 三角形は全部で [ スセ ] 個出来る。又, 互いに合同でない三角形は全部で [ ソ ] 種類ある。

(2) △ABC と合同になる確率は [ タ ]/[ チ ] であり, 又, 正三角形になる確率は [ ツ ]/[ テ ] である。

(3) 三角形の面積の期待値は ([ ト ] + [ ナ ]√2 + √3)/[ ニヌ ] である。

第二問 (必答 40 点)

[1] (1) p, q, r を実数とし, x についての整式 A, B を

A = x² + px + qx + r,
B = x² - 3x + 2

とする。

(a) A を B で割ったときの商が x - 1 であった。このとき p = [ アイ ] である。

(b) A を B で割ったときの余りが x で割りきれた。このとき,
r = [ ウ ]p +[ エ ]
である。

(2) a, b を実数として次の [ カ ] ～ [ ケ ] に下の 0 ～ G の内から当てはまるものを一つずつ選べ。

(|a + b| + |a - b|)² = 2(a² + b² + [ カ ])

であるから, (|a + b| + |a - b|)² = 4a² が成り立つための必要十分条件は [ キ ] である。 [ キ ] でないときは (|a + b| + |a - b|)² = [ ク ] となる。
　又 (1/2)(|a + b| + |a - b|) = b が成り立つための必要十分条件は [ ケ ] である。

0 a²,
1 b²,
2 4a²,
3 4b²,
4 ab,
5 |ab|,
6 2ab,
7 2|ab|,
8 a² - b²,
9 b² - a²,
A |a² - b²|
B a² ≦ b²,
C a² ≧ b²,
D a ≦ |b|,
E |a| ≦ b,
F a ≧ |b|,
G |a| ≧ b.

[2] △ABC に於いて, AB = 5, BC = 2√3, CA = 4√3 とする。このとき cos A = [ コ ]/[ サ ] である。 △ABC の面積は ([ シス ] + [ セ ]√[ ソ ])/2 である。
　B を通り CA に平行な直線と △ABC の外接円との交点のうち, B と異なる方を D とするとき, BC = [ タ ] - √[ チ ] であり, 台形 ADBC の面積は [ ツテ ] である。

第三問 (選択 20 点)

(1) 等比数列 18, -6√3, 6, ... の第 6 項は ([ アイ ]√[ ウ ])/[ エ ] であり, 初項から第 15 項までの奇数番目の項の和は [ オカキク ]/[ ケコサ ] である。

(2) 数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, ...... の第 n 項を a_n とする。この数列を
1 | 2, 2 | 3, 3, 3 | 4, 4, 4, 4 | 5, 5, 5, 5, 5 | 6, ...... のように 1 個, 2 個, 3 個, 4 個, ...... と区画に分ける。
　第 1 区画から第 20 区画までの区画に含まれる項の個数は [ シスセ ] であり, a₂₁₅ = [ ソタ ] となる。又, 第 1 区画から第 20 区画までの苦赤国含まれる項の総和は [ チツテト ] であり,

a₁ + a₂ + a₃ + …… + a_n ≧ 3000

となる最小の自然数 n は [ ナニヌ ] である。

第四問 (選択 20 点)

AB = AC である二等辺三角形 ABC の内接円の中心を I とし, 内接円 I と辺 BC の接点を D とする。辺 BA の延長と点 E で, 辺 BC の延長と点 F で接し, 辺 AC と接する ∠B 内の円の中心 (傍心) を G とする。

次ページの文章中の [ アイ ], [ ウエ ], [ オカ ] については, 当てはまる文字を A～G のうちから選べ。但しオとカは解答の順序を問わない。

(1) AD = GF が成り立つことを示そう。

2∠EAG = ∠E[ アイ ] = ∠ABC + ∠B[ ウエ ] = 2∠ABC

であるから, ∠EAG = ∠ABC となる。従って, 直線 [ オカ ] と直線 BF は平行である。更に, A, I, D は一直線上にあって, ∠ADC = ∠GFD = [ キク ]° であるから, 四角形 ADFGは [ ケ ] となる。よって AD = GF である。但し, [ ケ ] には次の 0 ～ 3 の内から最も相応しいものを選べ。

0 正方形, 1 台形, 2 長方形, 3 菱 (ひし) 形

(2) AB = 5, BD = 2 のとき, IG の長さを求めよう。先ず, AD = √[ コサ ] であり,
AI = ([ シ ]√[ コサ ])/[ ス ] となる。又, ∠AGI = ∠CBI = ∠ABI であるから, AG = [ セ ] となり,
IG = [ ソ ]√[ タチ ]/[ ツ ] である。

第五問 (選択 20 点)

下のプログラムは, 自然数 N を入力して, [ ア ] を小さい順に a(1) = , a(2) = , ... と表示し, 更にそれらの和を S = と表示するものである。但し, このプログラムにおいて INT(A) は A を超えない最大の整数を表す。

[ ア ] に当てはまるものを, 次の 0 ～ 3 のうちから一つ選べ。

0 N 以下の正の奇数で 3 の倍数であるもの
1 N 以下の正の奇数で 3 の倍数でないもの
2 N 以下の正の偶数で 3 の倍数であるもの
3 N 以下の正の偶数で 3 の倍数でないもの

100 S = 0
110 T = 0
120 INPUT "N="; N
130 FOR K=1 TO N
140 IF INT(K/2)=K/2 THEN GOTO 190
150 IF INT(K/3)=K/3 THEN GOTO 190
160 T=T+1
170 S=[ イ ]
180 PRINT "a("; [ ウ ] ;")=" ; [ エ ]
190 NEXT K
200 PRINT "S="; S
210 END

(1) [ イ ] ～ [ エ ] に当てはまるものを, 次の 0 ～ 5 のうちから一つずつ選び, プログラムを完成させよ。

0 N, 1 K, 2 S, 3 T, 4 S+1, 5 S+K.

(2) このプログラムを実行して, N として 10 を入力すると, a(1) から a([ オ ]) までと S = [ カキ ] が表示される。このとき, 150 行は [ ク ] 回実行され, そのうち [ ケ ] 回は 160 行の実行に進んだ。

(3) 最初のプログラムで 140 行を
140 IF INT(K/2) < K/2 THEN GOTO 160
と変更した後, N として 10 を実行すると a(1) から a([ コ ]) までと, S = [ サシ ] が表示される。

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