2005 年数学 II ・ B 解答と解説

第一問 (必答 30 点)

[1]

(1) AC² = (cos 2θ + 1)² + sin²2θ = 1 + 2cos 2θ + cos²2θ +  sin²2θ
　= 2 + 2cos 2θ (1 点)
　= 2 + 2(2cos²θ - 1)
　= 4cos²θ. (1 点)

BC² = (cos θ - cos 2θ)² + (sin θ - sin 2θ)² = 2 - 2(cos θ cos 2θ + sin θ sin 2θ)
　= 2 - 2cos(2θ - θ)
　= 2 - 2cosθ. (1 点)
　= 4×(1 - cos θ)/2
　= 4sin²(θ/2) (半角の公式) (1 点).

故に d = 2|cos θ| + 2 sin(θ/2). (各 1 点)

(2) t = sin(θ/2) と置く。 0 ≦ θ ≦ 90°の時 0 ≦ t ≦ (√2)/2 (1 点) で
d = 2(1 - 2t²) + 2t = -4t² + 2t + 2 (各 1 点).

90°≦ θ ≦ 180°の時 (√2)/2 ≦ t ≦ 1 であり
d = 2(2t² - 1) + 2t = 4t² + 2t - 2.

t ≦ (√2)/2 の時
d = -4(t² - t/2) + 2 = -4(( t - 1/4)² - 1/16) + 2 = -4(t - 1/4)² + 1/4 + 2
　= 4( t - 1/4)² + 9/4.

t ≧ (√2)/2 の時
d = 4(t² + t/2) - 2 = 4((t +　1/4)² - 1/16) - 2 = 4(t + 1/4)² - 1/4 - 2
　= 4(t + 1/4)² - 9/4.

Graph から t = (√2)/2 (2 点) の時最小値 √2 (1 点) を採り, この時 sin(θ/2) = (√2)/2, θ/2 = 45°, 即ち θ = 90° (1 点).

又 t = 1 (2 点) の時最大値 4 (1 点) を採り, この時 sin(θ/2) = 1, θ/2 = 90°, 即ち θ = 180°(1 点).

(1) は答えが見え見えである。

(2) では半角の公式を用いている。 Graph を書けば大したことはない。

[2]

(1) 2^x = (5/2)^y より x = log₂ (5/2)^y = y log₂(5/2) = y(log₂5 - 1) (3 点).

b - a = (5/2)y - 2x
　= (5/2)y - 2y log₂5 + 2y
　= y(9/2 ー 2log₂5) (2 点)
　= (y/2)(9 - 4log₂5).

2⁹ = 512, 5⁴ = 625 で 512 < 625 より 9 < 4log₂5. 従って b - a < 0 だから a の方が大きい (2 点)。

(2) 2^x = 3^z より x = z log₂3 (1 点).

c - a = 3z - 2x = 3z - 2z log₂3 = z(3 - 2log₂3).

2³ = 8 < 3² = 9 だから c - a < 0 なので a の方が大きい (2 点)。

(3) (5/2)^y = 3^z より z = y log₃ (5/2).

b - c = (5/2)y - 3y log₃ (5/2) = (y/2)(5 - 6log₃ (5/2)). ここで 3⁵ < (5/2)⁶ だから b - c < 0. 従って b < c だから
b < c < a (3 点)

誘導に従っていけばいいので難しくはない。

第二問 (必答 30 点)

(1) y = x² + 2ax - a³ - 2a² = (x +　a)² - a³ - 3a².

従って x = -a, y = -a³ - 3a²　とすると a = -x より
y = -(-x)³ - 3(-x)²
y = x³ - 3x² (2 点)

(2) y = -a³ - 3a² と置く。 dy/da = -3a² - 6a = -3a(a + 2).

最大は a = 0 の時と a = -3 の時で, 最小となるのは a = -2 の時 (各 3 点)。

(3) C₁: y = x²
C₂: y = x² - 6x + 9. (1 点)
C₃: y = x² - 4x (1 点).

C₁ と C₂ の交点の x 座標は 9/6 = 3/2 (2 点)。
C₁ と C₃ の交点の x 座標は 0 (2 点)
C₂ と C₃ の交点の x 座標は x² - 6x + 9 = x² - 4x より 2x = 9 即ち x = 9/2 (2 点).

(4) 先ず頂点に着目すると C₁ と C₂ は共に x 軸上にある。 C₃ の頂点は x 軸よりも下にある。 これだけで 3 だと分かる。 (2 点)

以上から求める面積は
∫₀^3/2 (x² - (x² - 4x))dx + ∫_3/2^9/2(x² - 6x + 9 - (x² - 4x))dx
= ∫₀^3/2 4xdx + ∫_3/2^9/2(-2x + 9)dx
= [2x²]₀^3/2 + [-x² + 9x]_3/2^9/2
= 9/2 - 81/4 + 81/2  - (-9/4 + 27/2)
= (90 - 27)/2 - 72/4 = 63/2 - 36/2 = 27/2 (6 点).

(4) の前半が一寸変わっているか。 Graph を正しく描けば大したことはない。

第三問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

AB = (x, y), AC = (z, w).
A₁ が B₁C₁ の中点より w = -y (2 点).
B₂ が A₂C₂ の中点より z = 2x (2 点).

AB の中点を D とすると CD・PA = 0. (2 点)

PQ = (-4, 3) (2 点)

CD = AD - AC
　= (1/2)AB - AC
　= (1/2)(AB - 2AC) (2 点)
　= (1/2)((x, y) - 2(2x, -y))
　= (1/2)(-3x, 3y)
　= (3/2)(-x, y).

(2/3)CD・PQ = (-x, y)・(-4, 3) = 4x + 3y = 0 より y = (-4/3)x (3 点).

よって AB = (x, (-4/3)x) = x(1, -4/3),
AC = (2x, -y) = (2x, (4/3)x) =x(2, 4/3) (2 点).

AB = (x/3)(3, -4), AC = (x/3)(6, 4) = (x/3)・2(3, 2) より
AC/AB = 2(√(9 + 4))/5 = 2(√13)/5.
即ち AC = (2(√13)/5)AB. (2 点)

cos∠BAC = (3, -4)・(6, 4)/(5×2√13) = (18- 16)/(10√13) = 2/(10√13) = (√13)/65. (3 点)

最初図に驚かされるかもしれないが, 実は大したことはない。

第四問 (選択 20 点)

arg((γ - α)/(β - α)) = ±∠BAC = ±90°(2 点),
|(γ - α)/(β - α)| = AC/AB = 1 (2 点).

arg((γ - α)/(β - α)) = 90°とすると (γ - α)/(β - α) = 1・(cos 90° + i sin 90°) = i.
(1) より γ = -α - β だから
γ - α = i(β - α)
-2α - β = iβ - iα
-(1 + i)β = (2 - i)α
β = -((2 - i)/(1 +　i))α = -((2-i)(1-i)/2)α = -((1 - 3i)/2)α = ((-1 + 3i)/2)α (2 点).

γ = -α - β = ((-2 + 1 - 3i)/2)α = ((-1 - 3i)/2)α (2 点).

(2) より
p = αβ + βγ + γα = ((-1 + 3i)/2 + ((-1 + 3i)/2)・((-1 - 3i)/2) + (-1 - 3i)/2)α²
　= ((-1 + 3i)/2 + 5/2 + (-1 - 3i)/2)α² = (3/2)α². (3 点)

q = αβγ = ((-1 + 3i)/2)・((-1 - 3i)/2)α³ = (5/2)α³. (3 点)

従って
α⁶ = ((2/3)p)³ = ((2/5)q)².
(8/27)p³ = (4/25)q²
50p³ = 27q² (3 点)

D は vector で考えると
α + (β - α) + (γ - α) = β + γ- α = ((-1 + 3i)/2)α + ((-1 - 3i)/2)α - α = -2α (3 点)

計算が多くて計算間違いに気をつければ大丈夫だろう。 複素数の幾何はこれが最後である。

第五問 (選択 20 点)

(1) 五回の内一回だけ A が起るのだから

₅C₁×(1/3)×(2/3)⁴ = 80/243 (2 点)

(2) 丁度四回目で終わる確率は
₃C₁×(1/3)×(2/3)²×(1/3) = 4/27 (3 点)

二回目で終わる確率は (1/3)×(1/3) = 1/9.
三回目で終わる確率は 2×(1/3)×(2/3)×(1/3) = 4/27
従って四回目又は五回目で終わる確率は 1 - 1/9 - 4/27 = 20/27 (3 点)

[別解]
五回目で終了する確率は (a) 四回目までに一回当たり, 五回目は当たってもはずれてもやる。 (b) 四回目までに一度も当たらず五回目に当たる (c) 五回目まで全てはずれる。 の三つの場合を合計すればよい。 従って
4/27 +  ₄C₁×(1/3)×(2/3)³ + (2/3)⁴(1/3) + (2/3)⁵ = 4/27 + 52/81 + 16/243 + 32/243
= (12 + 32)/81 + 48/243 = 44/81 + 16/81 = 60/81 = 20/27.

(3) 三回目までに一度も A が起らない確率は (2/3)³ = 8/27. (2 点)
三回目までに一度も a が起らないという条件下での X > a となる確率は (a) 4 又は 5 で一回当たる, (b) 4 と 5 と二回当たる の二通りを考えねばならないから
(2×(2/3)⁴×(1/3) + (2/3)³×(1/3)²)/(2/3)³ = 4/9 + 1/9 = 5/9. (4 点)

(4) E(X) = a + 1×80/243 + 3×(1 - 80/243 - 32/243) - m×(2/3)⁵
= a + 80/243 + 393/243 - 32m/243
= a + (473 - 32m)/243 (各 2 点).

E(X) > a とすると 473 - 32m > 0 つまり m < 473/32 = 14 + 25/32 より m = 14 が最大 (2 点)。

実は最初 [別解] の (b) を見落としていて正解が出ずに困った。 やっぱり確率の問題などやるものではない。

第六問 (選択 20 点)

(1) 計算を続けるので, counter N を変化させねばならにから 130. (2 点)

(2) B ≦ 0 になったときに計算を打ち切っているので B は一度逆算し直さなければならない。 従って 4. (3 点)

(3) c₁ = 1.05(c₀ - m)
c₁ - c₀ = 0.05c₀ - 1.05m ≧ 0.
m ≦ (0.05/1.05)c₀ = 2150/21 = 102 + 8/21.
従って m の最大値は 102. (3 点)

(4) 130 迄が初期設定で 140. (2 点)
160 行までで計算するのはぴったりの金額だから 1 を足さねばならない。 従って 3 (4 点)

次の step で I = 1 となって roop を出るから, 最後に小数点以下を切り捨てて 1 を足すので出力は 258 (4 点)
実行回数は 2 回 (2 点)

(4) のサは引っかけじゃないだろうか。

これでは数学の問題じゃなくて programming の問題になっている。 あんまり良くない問題だと思う。

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