第一問 (20 点) (配点が下がっている)
[1]
(1) x < 5/3 より |3x - 5| = -3x + 5.
よって 2(x - 2)2 = -3x + 5.
2x2 - 8x + 8 = -3x + 5.
2x2 -5x + 3 = 0.
(2x - 3)(x - 1) = 0.
故に x = 1, 3/2 (各二点, 計 4 点) (共に x < 5/3 で適).
(2) 同様に x ≧ 5/3 とすると
2x2 - 8x + 8 = 3x - 5.
2x2 - 11x + 13 = 0.
判別式 D = 121 - 104 = 17 > 0 で, x = 5/3 は y = 2(x - 2)2
の頂点の左側にあるので, graph から, 共に適する解を有することが分る。
従って解は全部で 4 個。 (2 点)
解の内, 最大のものは α = (11 + √17)/4 で
16 < 17 < 25 より
4 < √17 < 5.
15 < 11 + √17 < 16.
15/4 < (11 + √17)/4 < 4
で, 3 ≦ 15/4 だから, 結局 3 < (11 + √17)/4 < 4.
即ち m = 3. (4 点)
絶対値の処理が少し難しいかもしれないが, 標準的。
[2]
(1) 10 の倍数は 2 の倍数だが, 逆は成り立たないので 2. (2 点)
同様に, 20 の倍数は 4 の倍数だが, 逆は成り立たないので 1. (2 点)
(2) C = A∩B … 4. (2 点)
D = (A￣)∩(B￣) = (A∪B)￣ … 3. (2 点)
20 = L.C.M.(10, 4) より
E = C￣ = (A∩B)￣ … 7. (2 点)
驚くほど簡単。
第二問 (25 点)
(1) G: y = x2 - 2(a - 1)x + (a - 1)2 - (a - 1)2 + 2a2 - 8a + 4
= (x - (a - 1))2 - a2 + 2a - 1 + 2a2 - 8a + 4
= (x - (a - 1))2 + a2 - 6a + 3.
従って頂点は
(a - 1, a2 - 6a + 3). (3 点)
G が x 軸と異なる二点で交わるのは, 頂点の y 座標が負である時だから
a2 - 6a + 3 < 0.
a2 - 6a + 3 = 0 とすると a = 3 ± √6 なので
3 - √6 < a < 3 + √6. (2 点)
この交点が, 共に x 軸の負の部分にあるのは
軸: a - 1 < 0 (⇔ a < 1)
& x 切片: 2a2 - 8a + 4 > 0
& 3 - √6 < a < 3 + √6
であるが, x 切片に関する条件で 2a2 - 8a + 4 = 0 と置くと a = 2 ± √2 なので a < 2 - √2, 2 + √2 < a.
以上より 3 - √6 < a < 2 - √2. (3 点)
(2)題意より 3 ≦ a - 1 ≦ 7.
従って 4 ≦ a ≦ 8. (2 点)
従って 3 ≦ x ≦ 7 での最大値 M は
4 ≦ a ≦ (4 + 8)/2 = 6 (2 点) の時
M = yx = 7 = 49 - 14(a - 1) + 2a2 - 8a + 4
= 2a2 - 22a + 67. (3 点)
6 ≦ a ≦ 8 の時
M = yx = 3 = 9 - 6(a - 1) + 2a2 - 8a + 4
= 2a2 - 14a + 19. (3 点)
従って min3≦x≦7y = 6 とすると
a2 - 6a + 3 = 6 なので
a2 - 6a - 3 = 0.
a = 3 ± 2√3.
1 < 3 < 4 より 2< 2√3 < 4
5 < 3 + 2√3 < 7,
又 -4 < -2√3 < -2 より -1 < 3 - 2√3 < 1.
従って a = 3 + 2√3. (3 点)
この時
M = 2a2 - 14 a + 19
= 2(a2 - 6a - 3) - 2a + 25
= -2(3 + 2√3) + 25
= 19 - 4√3. (3 点)
計算が面倒だが, 誘導に従ってやれば平易。
(2) の冒頭などは簡単過ぎる。
第三問 (30 点) (配点増)
(1) (第二) 余弦定理より
(2√2)2 = 22 + ((√5) + 1)2 - 2×2((√5) + 1)cos∠ABC
8 = 4 + 6 + 2√5 - 4((√5) + 1)cos∠ABC
4((√5) + 1)cos∠ABC = 2 + 2√5 = 2(1 + √5).
従って cos∠ABC = 1/2.
0°< ∠ABC < 180°より ∠ABC = 60°. (3 点)
正弦定理より
R = CA/(2sin∠ABC) = (2√2)/(2×(√3)/2) = (2√2)/(√3) = (2/3)√6. (5 点)
(2) 円に内接する四角形の対角の和だから
∠BAD + ∠BCD = 180° (3 点)
S1 = △ABD = (1/2)AB・ADsin∠BAD = ADsin∠BAD.
S2 = △BCD = (1/2)BC・CDsin∠BCD = ((1 + √5)/2)CDsin(180°- ∠BAD) = ((1 + √5)/2)CDsin∠BAD.
一方
S1 = ((√5) - 1)S2 より
ADsin∠BAD = 2 CDsin∠BAD.
即ち CD = (1/2)AD. (5 点)
△ABC で (第二) 余弦定理より (実はA から BC に垂線を引いてみるとかなり楽に分るが) AC = 2√2.
AD = 2 CD なので, △ADC に (第二) 余弦定理を用いると
8 = 4CD2 + CD2 - 4CD2cos120° = 7CD2
CD > 0 より CD = √(8/7) = (2/7)√14. (4 点)
よって AD = 2CD = (4/7)√14 で
△ECD ∽ △EAB (二角) であり, 相似比が
CD:AB = (2√14)/7:2 = √14:7 = √2:√7.
従って S3/S4 = 7/2. (5 点)
従って S1 + S2 + S4 = S3 で
((√5) - 1)S2 + S2 + S4 = (7/2)S4
(√5)S2 = (5/2)S4.
故に S2/S4 = (√5)/2. (5 点)
(2) で CD を求めるあたりが一番難しい。
図を描きながらやること。
第四問 (25 点)
(1) a + b + c = 6 の時だから
(1, 1, 4) が三通り,
(1, 2, 3) が 3! = 6 [通り],
(2, 2, 2) が一通り。
合計 10 通り。 (4 点)
(1, 1, c), (1, 2, c), ... , 等を書いていって調べてみると次のことが分る。
先ず a ≠ 6 なので a が 5 通り。
その各々で, a + b = 6 が一つあるので, b が 5 通り。
その各々で, a + b + c ≡ 0 (mod 6) が一つあるので, c が 5 通り。
従って 53 = 125 [通り]。
三回共 A に止まる時は 1/63 = 1/216. (4 点)
丁度二回だけ A に止まるのは, 「1, 2 回目に止まる」, 「1, 3 回目」, 「2, 3 回目」 の各々を考えればいいから
(1/6)・(1/6)・(5/6) + (1/6)・(5/6)・(1/6) + (5/6)・(1/6)・(1/6) = 5/72. (4 点)
丁度一回だけ A に止まるのは余事象を考えればいいから
1 - (125/63 + 1/216 + 5/72) = 1 - 47/72 = 25/72. (4 点)
(3) 1×25/72 + 2×5/72 + 3×1/216 = (25 + 10 + 1)/72 = 36/72 = 1/2. (5 点)
(1) の後半が面倒であるが, そこさえ乗り切れば大したことはない。
全体的に, 去年よりは難しくなっているようである。
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