Sunday, 21st January, 2007.
11:15 -- 12:15 (1hr)
平均 54.06
第一問 (20 点)
[1] (1) 方程式 2(x - 2)2 = |3x - 5| …… (1)
を考える。
方程式 (1) の解のうち, x < 5/3 を満たす解は
x = [ ア ], [ イ ]/[ ウ ] である。
(2) 方程式 (1) の解は全部で [ エ ] 個ある。
その解のうちで最大のものを α とすると, m ≦ α < m + 1 を満たす整数 m は [ オ ] である。
[2] 集合 A, B を
A = {n| n は 10 で割り切れる自然数},
B = {n| n は 4 で割り消える自然数}
とする。
(1) 次の [ カ ] と [ キ ] に当てはまるものを, 下の 0 から 3 のうちから一つずつ選べ。
自然数 n が A に属することは, n が 2 で割り切れるための [ カ ]。
自然数 n が B に属することは, n が 20 で割り切れるための [ キ ]。
0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件でない
2 十分条件であるが, 必要条件でない
3 必要条件でも十分条件でもない
(2) 次の [ ク ] から [ コ ] に当てはまるものを, 下の 0 から 7 のうちから一つずつ選べ。
C = {n| n は 10 と 4 の何れでも割り切れる自然数}
D = {n| n は 10 でも 4 でも割り切れない自然数}
E = {n| n は 20 で割り切れない自然数}
とする。 自然数全体の集合を全体集合とし, その部分集合 G の補集合を G￣ で表す時
C = [ ク ], D = [ ケ ], E = [ コ ]
である。
0 A∪B
1 A∪(B￣)
2 (A￣)∪B
3 (A∪B)￣
4 A∩B
5 A∩(B￣)
6 (A￣)∩B
7 (A∩B)￣
第二問 (25 点)
a を定数とし, x の二次函数
y = x2 - 2(a - 1)x + 2a2 - 8a + 4 …… (1)
のグラフを G とする。
(1) グラフ G が表す放物線の頂点の座標は
(a - [ ア ], a2 - [ イ ]a + [ ウ ])
である。 グラフ G が x 軸と異なる二点で交わるのは
[ エ ] - √[ オ ] < a < [ エ ] - √[ オ ]
の時である。 更に, この二つの交点が共に x 軸の負の部分にあるのは
[ カ ] - √[ キ ] < a < [ ク ] - √[ ケ ]
の時である。
(2) グラフ G が表す, 放物線の頂点の x 座標が 3 以上 7 以下の範囲にあるとする。
このとき, a の値の範囲は
[ コ ] ≦ a ≦ [ サ ]
であり, 二次函数 (1) の 3 ≦ x ≦ 7 における最大値 M は
[ コ ] ≦ a ≦ [ シ ] の時
M = [ ス ]a2 - [ セソ ]a + [ タチ ]
[ シ ] ≦ a ≦ [ サ ] の時
M = [ ツ ]a2 - [ テト ]a + [ ナニ ]
である。
従って, 二次函数 (1) の 3 ≦ x ≦ 7 における最小値が 6 であるならば,
a = [ ヌ ] + [ ネ ]√[ ノ ]
であり, 最大値 M は
M = [ ハヒ ] - [ フ ]√[ ヘ ]
である。
第三問 (30 点)
△ABC において, AB = 2, BC = (√5) + 1, CA = 2√2 とする。 又, △ABC の外接円の中心を O とする。
(1) このとき, ∠ABC = [ アイ ]°であり, 外接円 O の半径は
([ ウ ]/[ エ ])√[ オ ]
である。
(2) 円 O の円周上に点 D を, 直線 AC に関して点 B と反対側の弧の上にとる。
△ABD の面積を S1, △BCD の面積を S2 とするとき,
S1/S2 = (√5) - 1 …… (1)
であるとする。 ∠BAD + ∠BCD = [ カキク ]°であるから
CD = ([ ケ ]/[ コ ])AD
となる。 このとき
CD = ([ サ ]/[ シ ])√[ スセ ]
である。
第四問 (25 点)
一辺の長さ 1 の正六角形があり, その頂点の一つを A とする。 一つのさいころを三回投げ, 点 P を次の (a), (b), (c) に従って, この正六角形の辺上を反時計回りに進める。
(a) 頂点 A から出発して, 一回目に出た目の数の長さだけ点 P を進める。
(b) 一回目で点 P が止まった位置から出発して, 二回目に出た目の数の長さだけ点 P を進める。
(c) 二回目で点 P が止まった位置から出発して, 三回目に出た目の数の長さだけ点 P を進める。
(1) 三回進めたとき, 点 P が正六角形の辺上を一周して, 丁度頂点 A に到達する目の出方は [ アイ ] 通りである。
三回進める間に, 点 P が一回も頂点 A に止まらない目の出方は [ ウエオ ] 通りである。
(2) 三回進める間に, 点 P が三回とも頂点 A に止まる確率は [ カ ]/[ キクケ ] であり,
丁度二回だけ頂点 A に止まる確率は [ コ ]/[ サシ ] である。
三回進める間に, 点 P が丁度一回だけ頂点 A に止まる確率は [ スセ ]/[ ソタ ] である。
(3) 三回進める間に, 点 P が頂点 A に止まる回数の期待値は [ チ ]/[ ツ ] 回である。
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