2010 年数学 II ・ B 解答と解説

第一問 (必答 30 点)

[1] (1) より
log₂x + log₂y = log₂128
= log₂2⁷
= 7. (3 点)
これと (2) より
(log₂x)(log₂y) = (12/7)(log₂x + log₂y) = (12/7)・7 = 12. (3 点)

t² - 7t + 12 = 0. (2 点)
(t - 3)(t - 4) = 0. よって t = 3, 4. (2 点)

従って, log₂x = 3 とすれば x = 2³ = 8 で
log₂x = 4 とすれば x = 2⁴ = 16.
よって (x, y) = (8, 16) 又は (16, 1). (2 点)

基本的で難しくないと思われる。 誘導し過ぎかも。

[2] (余角の) 公式により シ は 1. (2 点)

問題文と順序が逆だが,
4θ = π - (π/2 - θ) = π/2 + θ.
3θ = π/2.
故に θ = π/6. (2 点)

4θ = π/2 - θ.
5θ = π/2 より θ = π/10. (2 点)

sin(π/6) = 1/2. (2 点)

sin4θ = 2sin(2θ)cos(2θ) (2 点) より
4sinθcosθ(1 - 2sin²θ) = cosθ.
(4sinθ - 8sin³θ)cosθ = cosθ. (3 点)
4sinθ - 8sin³θ = 1.
8sin³θ - 4sinθ + 1 = 0.
sinθ = 1/2 はこれの解の一つなので, 左辺は 2sinθ - 1 で割り切れる。 従って
(2sin θ - 1)(4sin²θ + 2sinθ - 1) = 0.
なので 4sin²θ + 2sinθ - 1 = 0. (3 点)

二次方程式の解の公式から sinθ = (-1 ± √5)/4.
sin(π/10) > 0 より で, sin(π/10) = (-1 + √5)/4. (3 点).

こちらも誘導過多気味なので難しくはない。

第二問 (必答 30 点)

(1) y' = -3x² + 18x + k.
Q に於ける C の接線は
y - (-t³ + 9t² + kt) = (-3t² + 18t + k)(x - t).
これが P(1, 0) を通るのであるから
t³ - 9t² - kt = (3t² - 18t - k)(t - 1)
t³ - 9t² - kt = 3t³ - 21t² + (-k + 18)t + k.
故に -2t³ + 12t² - 18t = k. (各係数 2 点ずつ).

p(t) = -2t³ + 12t² - 18t と置くと
p'(t) = -6t² + 24t - 18
= -6(t² - 4t + 3)
= -6(t - 1)(t - 3).

なので, t = 1 (3 点) で極小値 -8 (2 点)
t = 3 (3 点) で極大値 0 (2 点) を採る。

接線が丁度二本⇔k = 0 (2 点) 又は -8 (2 点).

Graph を考えて, k = 5 の時 1 本, k = -2 の時 3 本, k = -12 の時 1 本. (三つ完答で 3 点)

(2) k = 0 とすると
C: y = -x³ + 9x²,
D: y = -x³ + 6x² + 7x.
-x³ + 9x² = -x³ + 6x² + 7x と置くと,
3x² - 7x = 0
x(3x - 7) = 0.
x = 0, 7/3. (2 点)

D で y = -x(x² - 6x - 7) = -x(x + 1)(x - 7) なので, graph の概略は (青い方が C で, 赤い方が D である)

Graph より, 求める面積は
∫_-1⁰(3x² - 7x)dx + ∫₀²(7x - 3x²)dx
= [x³ - (7/2)x²]_-1⁰ + [(7/2)x² - x³]₀²
= -(-1 - 7/2) + 14 - 8
= 21/2. (5 点)

焦らなければ簡単。

第三問 (選択 20 点)

(1) a₄ = 12 + (3・4 - 2) = 12 + 10 = 22. (2 点)

a_n - a_{n - 1} = 3n - 2. (2 点)

a_{n + 1} - a_n = 3n + 1 なので
a_n = a₁ + Σ_k=1^{n - 1} (3k - 2)
= 1 + 3・n(n - 1)/2 + (n - 1)
= (3/2)n² - (3/2)n + n
= (3/2)n² - (1/2)n. (3 点).

(3/2)n² - (1/2)n < 600 とすると
3n² - n < 1200
3n² - n - 1200 < 0
[ここで, 3n² - n - 1200 = 0 として解の公式を用いると
n = (1 ± √(1 + 120²)/6 ≒ (1 ± 120)/6
n > 0 なので n > 120/6 = 20 を踏まえて]
n = 20 とすると 左辺 = 1200 - 20 -1200 = -20
n = 21 とすると 左辺 = 1323 - 21 = 102
で, a₂₀ = (3/2)・20・20 - 20/2 = 600 - 10 = 590.
これが第 20 群の最後なので, 600 は第 21 群 (2 点) の 10 番目 (2 点)

(2) b_n = a_n + 2n
= (3/2)n² - (1/2)n + 2n
= (3/2)n² + (3/2)n. (3 点)

b_n = (3/2)n(n + 1).
故に 1/b_n = (2/3)・1/(n(n + 1)) = (2/3)(1/n - 1/(n + 1)) (3 点)

従って Σ_{k = 1}ⁿ (1/b_n) = (2/3)(1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + … + 1/n - 1/(n + 1))
= (2/3)(1 - 1/(n + 1)) = 2n/(3n + 3). (3 点)

教科書 level. 全然難しくない。

第四問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

(1) p・q = p・r = 0. (2 点)
q・r = 1・1・cos(π/3) = 1/2. (2 点)
XY = (1 - a)p + br (2 点).

EC = EA + AB + BC = -r + p + q = p + q - r.
XZ = AH = AD + DH = q + r.
従って
EC・XZ = (p + q - r)・(q + r)
= p・(q + r) + |q|² - |r|² = 0. (3 点)

(2) EC・XY = (p + q - r)・((1 - a)p + br)
= (1 - a)|p|² + (1/2)b - b|r|²
= (1 - a) - (1/2)b = 0.
2 - 2a - b = 0
2a + b = 2. (3 点)

ここで b = 1/2 とすると 2a + 1/2 = 2 より a = 3/4. (1 点)

AK = AX + sXY + tXZ
= (3/4)p + s((1/4)p + (1/2)r) + t(q + r)
= ((1/4)s + (3/4))p + tq + ((1/2)s + t)r. (3 点)

一方,
AK = r + c(p + q - r)
= cp + cq + (1 - x)r.
ここで p, q, r は一次独立だから
(1/4)s + (3/4) = c,
t = c
(1/2)s + t = 1 - c.
第一式より s + 3 = 4c 即ち s = 4c - 3.
これと第二式を第三式に代入すると
(1/2)(4c - 3) + c = 1 - c
4c - 3 + 2c = 2 - 2c
8c = 5 なので c = 5/8. (3 点)

EK = (5/8)EC = (5/8)(p + q - r)
故に |EK|² = (25/64)(|p|² + |q|² + |r|² + 2p・q - 2q・r - 2r・p)
= (25/64)・(1 + 1 + 1 - 1) = 25・2/64.
従って |EK| = 5(√2)/8. (2 点)

図を描かなくても, 全く難しさを感じない。
こんなに簡単でいいのかと思うほど。

第五問 (選択 20 点)

(1) 左右の平均値から (A + 44.5)/2 = 44.75.
A + 44.5 = 89.5. 故に A = 45.0. (2 点)

従って M = (450 + 430)/20 = 43.0 + 20/20 = 44.0. (1 点)

第一 group を大きい順に並べると 52, 50, 50, 48, 47, 46, 43, 42, 37, 35.
第二 group も大きい順に並べると 51, 49, 48, 47, 45, 45, 42, 39, 33, 31.
両方を合わせて大きい方から 10 番目と 11 番目の値を出して (46 + 45)/2 = 45.5. (1 点)

(2) 平均値が M であることに注意して計算すると
6² + 8² + 2² + 2² + 1² + 9² + 4² + 3² + 6² + 7²
= 36 + 64 + 4 + 4 + 1 + 81 + 16 + 9 + 36 + 49 = 300. (2 点)

S = √((300 + 420)/20) = √(15 + 21) = √36 = 6.0. (2 点)

(3) M - S = 44.0 - 6.0 = 38.0.
M + S = 44.0 + 6.0 = 50.0
なので (1) を見て N(1) = 12. (2 点)

M - 2S = 44.0 - 12.0 = 32.0.
M + 2S = 44.0 + 12.0 = 56.0
なので, (31 のみが外れて) N(2) = 19. (1 点)

(4) 左右の平均から (43.0 + D)/2 = 41.25.
43.0 + D = 82.5.
故に D = 82.5 - 43.0 = 39.5. (1 点)

第二 group の左の方も B, C を除いて並べてみると: 45, 44, 42, 41, 38, 34, 33, 31.
中央値が 40.5 だから, 41 が上から 10 番目で, 40 が上から 11 番目でなければならない。
従って, B > C より C が 40kg (1 点) で, 平均値から考えて
(B + 348)/10 = 39.5 なので B = 47kg. (1 点)

(5) 先ず, E = (49 + 47/2) = 48.0,
F = (45 + 40)/2 = 42.5.
表を見ると, 平均値最大は 50.0kg なので, 1 か 3 しかあり得ない。 (因みに最小は 32) 最小の生徒の差を見ると 2kg (又は差の最大値が 9kg もある生徒はいない) ので 1 (2 点) （他にも平均値 50 の生徒の数を数える等の方法もある)

フ が 1 (2 点) なので ヒ は 2 であろう。 (1 点)
(実際に計算してみると 0.004643244 である)

以前よりはすっきりした出題。
毎回妙な計算があるが今回も。
(5) は相変わらず変な問題。

第六問 (選択 20 点)

(1) a ≦ b ≦ c より a ≦ N/3. (2 点)

(2) N = 20 の時 20/3 = 6 + 2/3 だから最大は 6. (1 点)

更に a = 3 の時, 3 ≦ b ≦ c だから, b + c = N - a = 20 - 3 = 17.
b ≦ 17/2 = 8 + 1/2 なので b の個数は 8 - 3 + 1 = 6 個。 (2 点)

(3) (2) の計算過程を見ると, 当てはまるのは 5. (2 点)
120 行目の INT(N/3) はこの場合 13/3 = 4 + 1/3 なので 4 回。 (2 点)

実際に計算してみる。 以下 [x] は x を超えない最大の整数とする。
A = 1 の時 [(13 - 1)/2] - 1 + 1 = 12/2 = 6.
A = 2 の時 [(13 - 2)/2] - 2 + 1 = [11/2] - 1 = 5 - 1 = 4.
A = 3 の時 [(13 - 3)/2] - 3 + 1 = 5 - 2 = 3.
A = 4 の時 [(13 - 4)/2] - 4 + 1 = [9/2] - 3 = 4 - 3 = 1.
であるから, X = 6 + 4 + 3 + 1 = 14. (2 点)

(4) ク は (2) の計算から 4. (2 点)
ケ は a + b + c = N なのだから 4. (1 点)
コ は問題に書いてある通り 2. (2 点)
サ は個数を数えているので 5. (2 点)

N = 13 の時, (3) と同様に A は 1 から 4 迄である。
C = N - A - B < A + B だから N < 2(A + B) になれば良い。
つまり B > (N - 2A)/2 で, 元々 A ≦ B ≦ (N - A)/2 なので
max(A - 1, (N - 2A)/2) < B ≦ (N - a)/2.
A = 1 の時, 11/2 = 5 + 1/2 < B ≦ 6 なので B = 6 のみの 1 個。
A = 2 の時, 9/2 = 4 + 1/2 < B ≦ 11/2 = 5 + 1/2 なので, B = 5 のみの 1 個。
A = 3 の時, 7/2 = 3 + 1/2 < B ≦ 5 なので, B = 4, 5 の 2 個。
A = 4 の時, 5/2 = 2 + 1/2 < B ≦ 9/2 = 4 + 1/2 だが, A = 4 ≦ B ≦ 4 + 1/2 なので B = 4 のみの 1 個。
以上より X = 1 + 1 + 2 + 1 = 5. (2 点)

今回は極めて自然。 しかもそれほど難しくない。
その結果, 他の問題が簡単になり過ぎたのか?

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