2011 年 数学 I ・ A 問題

Sunday, 16th January, 2011.
11:15 -- 12:15 (1hr)
平均 65.95

第一問 (20 点)

[1] a = 3 + 2√2, b = 2 + √3 とすると

1/a = [ ア ] - [ イ ]√[ ウ ])
1/b = [ エ ] - √[ オ ]
a/b - b/a = [ カ ](√[ キ ]) - [ ク ]√[ ケ ]

である。 この時, 不等式 |2abx - a²| < b² を満たす x の値の範囲は

[ コ ](√[ サ ]) - [ シ ]√[ ス ] < x < [ セ ] - [ ソ ]√[ タ ].

[2] 実数 a, b に関する条件 p, q を次のように定める。

p: (a + b)² + (a - 2b)² < 5
q: |a + b| < 1 又は |a - 2b| < 2

(1) 次の 0 から 3 の内, 命題 「q⇒p」 に対する反例になっているのは [ チ ] である。

0 a = 0, b = 0
1 a = 1, b = 0
2 a = 0, b = 1
3 a = 1, b = 1

(2) 命題 「q⇒p」 の対偶は 「[ ツ ]⇒[ テ ]」 である。
[ ツ ], [ テ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 7 の内から一つずつ選べ。

0 |a + b| < 1 且つ |a - 2b| < 2 1 (a + b)² + (a - 2b)² < 5
2 |a + b| < 1 又は |a - 2b| < 2 3 (a + b)² + (a - 2b)² ≦ 5
4 |a + b| ≧ 1 且つ |a - 2b| ≧ 2 5 (a + b)² + (a - 2b)² > 5
6 |a + b| ≧ 1 又は |a - 2b| ≧ 2 7 (a + b)² + (a - 2b)² ≧ 5

(3) p は q である為の [ ト ]。
[ ト ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。

0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件ではない
2 十分条件であるが, 必要条件ではない
3 必要条件でも十分条件でもない

第二問 (25 点)

a, b, c を定数とし, a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 x の二次函数

y = ax² + bx + c ……… (1)

のグラフを G とする。 G が y = -3x² + 12bx のグラフと同じ軸を持つ時

a = [ アイ ]/[ ウ ] ……… (2)

となる。 更に, G が点 (1, 2b - 1) を通る時

c = b - [ エ ]/[ オ ] ……… (3)

が成り立つ。

以下, (2), (3) の時, 二次函数 (1) とそのグラフ G を考える。

(1) G と x 軸が異なる二点で交わるような b の値の範囲は

b < [ カキ ]/[ ク ], [ ケ ]/[ コ ] < b

である。 更に, G と x 軸の正の部分が異なる二点で交わるような b の値の範囲は

[ サ ]/[ シ ] < b < [ ス ]/[ セ ]

である。

(2) b > 0 とする。
0 ≦ x ≦ b に於ける二次函数 (1) の最小値が -1/4 である時, b = [ ソ ]/[ タ ] である。
一方, x ≧ b に於ける (1) の最大値が 3 である時, b = [ チ ]/[ ツ ] である。

b = [ ソ ]/[ タ ], b = [ チ ]/[ ツ ] の時の (1) のグラフをそれぞれ G₁, G₂ とする。
G₁ を x 軸方向に [ テ ], y 軸方向に [ ト ] だけ平行移動すれば, G₂ と一致する。

第三問 (30 点)

点 O を中心とする円 O の円周上に四点 A, B, C, D がこの順にある。 四角形 ABCD の辺の長さは, それぞれ

AB = √7, BC = 2√7, CD = √3, DA = 2√3

であるとする。

(1) ∠ABC = θ, AC = x と置くと, △ABC に着目して

x² = [ アイ ] - 28cosθ

となる。 又, △ACD に着目して

x² = 15 + [ ウエ ]cosθ

となる。 よって, cosθ = [ オ ]/[ カ ], x = √[ キク ] であり,
円 O の半径は √[ ケ ] である。

又, 四角形 ABCD の面積は [ コ ]√[ サ ] である。

更に, 辺 AD の延長と線分 OC の延長の交点を G とする。 点 E から 直線 OG に垂線を下ろし, 直線 OG との交点を H とする。
四点 E, G, [ チ ] は同一円周上にある。 [ チ ] に当てはまるものを次の 0 から 4 から一つ選べ。

0 C, F 1 H, D 2 H, F 3 H, A 4 O, A

従って OH・OG = [ ツ ] である。

第四問 (25 点)

一個の骰子 (さいころ) を投げる時, 4 以下の目が出る確率 p は [ ア ]/[ イ ] であり
5 以上の目が出る確率 q は [ ウ ]/[ エ ] である。

以下では, 一個の骰子を八回繰り返して投げる。

(1) 八回の中で 4 以下の目が丁度三回出る確率は [ オカ ]p³q⁵ である。

第一回目に 4 以下の目が出て, 更に次の七回の中で 4 以下の目が丁度二回出る確率は [ キク ]p³q⁵ である。

第一回目に 5 以上の目が出て, 更に次の七回の中で 4 以下の目が丁度三回出る確率は [ ケコ ]p³q⁵ である。

(2) 次の 0 から 7 の内 [ オカ ] に等しいものは [ サ ] と [ シ ] である。 但し[ サ ] と [ シ ] は解答の順序を問わない。

0 ₇C₂×₇C₃　　 1 ₈C₁×₈C₂　　 2 ₇C₂ + ₇C₃　　 3 ₈C₁ + ₈C₂
4 ₇C₄×₇C₅　　 5 ₈C₅×₈C₇　　 6 ₇C₄ + ₇C₅　　 3 ₈C₅ + ₈C₇

(3) 得点を次のように定める。
八回の中で 4 以下の目が丁度三回出た場合,

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 について, 第 n 回目に初めて 4 以下の目が出た時, 得点は n 点とする。

この時, 得点が 6 点となる確率は p^{[ ス ]}q^{[ セ ]} であり, 得点が 3 点である確率は [ ソタ ]p^{[ ス ]}q^{[ セ ]}である。
又, 得点の期待値は [ チツテ ]/[ トナニ ] である。

解答へ。

センター試験の目次に戻る。