Sunday, 15th January, 2012.
13:0 -- 14:00 (1hr)
平均 69.97
第一問 (20 点)
[1] (1) 不等式 |2x + 1| ≦ 3 の解は [ アイ ] ≦ x ≦ [ ウ ])
以下, a を自然数とする。
(2) 不等式
|2x + 1| ≦ a ……… (1)
の解は
(-[ エ ] - a)/[ オ ] ≦ x ≦ (-[ エ ] + a)/[ オ ]
である。
(3) 不等式 (1) を満たす整数 x の個数を N とする。a = 3 の時, N = [ カ ] である。
又, a が 4, 5, 6, ... と増加する時, N が初めて [ カ ] より大きくなるのは, a = [ キ ] の時である。
[2] k を定数とする。 自然数 m, n に関する条件, p, q, r を次のように定める。
p: m > k 又は n > k
q: mn > k2
r: mn > k
(1) 次の [ ク ]に当てはまるものを, 下の 0 から 3 の内から一つ選べ。
p の否定`p は [ ク ] である。
0 m > k 又は n > k
1 m > k 且つ n > k
2 m ≦ k 且つ n ≦ k
3 m ≦ k 又は n ≦ k
(2) 次の [ ケ ] から [ サ ] に当てはまるものを下の 0 から 3 の内から一つずつ選べ。
但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。
(i) k = 1 とする。
p は q である為の [ ケ ]。
(ii) k = 2 とする。
p は r である為の [ コ ]。
p は q である為の [ サ ]。
0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件でない
2 十分条件であるが, 必要条件でない
3 必要条件でも十分条件でもない
第二問 (25 点)
a, b を定数として二次函数
y = -x2 + (2a + 4)x + b ……… (1)
について考える。 函数 (1) のグラフ G の頂点の座標は
(a + [ ア ], a2 + [ イ ]a + b + [ ウ ])
である。 以下,この頂点が直線 y = -4x - 1 上にあるとする。 この時,
b = -a2 -[ エ ]a -[ オカ ]
である。
(1) グラフ G が x 軸と異なる二点で交わるような a の値の範囲は
a < [ キク ]/[ ケ ]
である。 又, G が x 軸の正の部分と負の部分の両方で交わるような a の値の範囲は
-[ コ ] - √[ サ ] < a < -[ コ ] - √[ サ ]
である。
(2) 函数 (1) の 0 ≦ x ≦ 4 に於ける最小値が -22 となるのは
a = [ シス ] 又は a = [ セ ]
の時である。 又, a = [ セ ] の時, 函数 (1) の 0 ≦ x ≦ 4 に於ける最大値は [ ソタチ ] である。
一方, a = [ シス ] の時の (1) のグラフを x 軸方向に [ ツ ], y 軸方向に [ テトナ ] だけ平行移動すると, a = [ セ ] の時のグラフと一致する。
第三問 (30 点)
△ABC に於いて, AB = AC = 3, BC = 2 である時
cos∠ABC = [ ア ]/[ イ ], sin∠ABC = ([ ウ ]√[ エ ])/[ オ ]
でり, △ABC の面積は [ カ ]√[ キ ], △ABC の内接円 I の半径は (√[ ク ])/[ ケ ] である。
又, 円 I の中心から点 B までの距離は (√[ コ ])/[ サ ] である。
(1) 辺 AB 上の点 P と辺 BC 上の点 Q を, BP = BQ 且つ PQ = 2/3 となるように採る。
この時, △PBQ の外接円 O の直径は
となる。 又, △ACD に着目して (√[ シ ])/[ ス ] であり, 円 I と円 O は [ セ ]。 但し [ セ ] には次の 0 から 4 から当てはまるものを一つ選べ。
0 重なる (一致する)
1 内接する
2 外接する
3 異なる二点で交わる
4 共有点を持たない
(2) 円 I 上に点 E と点 F を, 三点 C, E, F が一直線上にこの順に並び, 且つ, CF = √2 となるように採る。 この時
CE = (√[ ソ ])/[ タ ], EF/CE = [ チ ]
である。
更に, 円 I と辺 BC との接点を D, 線分 BE と線分 DF との交点を G, 線分 CG の延長と線分 BF との交点を M とする。
この時, GM/CG = [ ツ ]/[ テ ] である。
第四問 (25 点)
1 から 9 までの数字が一つずつ書かれた九枚のカードから五枚のカードを同時に取りだす。 このようなカードの取りだし方は [ アイウ ] 通りある。
(1) 取りだした五枚のカードの中に 5 と書かれたカードがある取り出し方は [ エオ ] 通りであり,
5 と書かれたカードがない取り出し方は [ カキ ] 通りである。
(2) 次のように得点を定める。
得点が 0 点となる確率は [ ク ]/[ ケ ] である。
得点が 1 点となる確率は [ コ ]/[ サシス ] で,
得点が 2 点となる確率は [ セ ]/[ ソタ ],
得点が 3 点となる確率は [ チ ]/[ ツ ] である。
又, 得点の期待値は [ テ ]/[ ト ] 点である。
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