Sunday, 20th January, 2013.
13:00 -- 14:00 (1hr)
平均 51.20
第一問 (20 点)
[1] (1) A = 1/(1 + (√3) + (√6)), B =
1/(1 - (√3) + (√6)) とする。
この時
AB = 1/((1 + √6)2 - [ ア ]) = ((√6) - [ イ ])/[ ウ ])
であり, 又
1/A + 1/B = [ エ ] + [ オ ]√6
である。 以上により
A + B = ([ カ ] - √6)/[ キ ]
となる。
[2] 三角形に関する条件 p, q, r を次のように定める。
p: 三つの内角がすべて異なる
q: 直角三角形でない
r: 45°内角は一つもない
条件 p の否定を`p で表し, 同様に`q,`r はそれぞれ条件 q, r の否定を表すものとする。
(1) 命題 「r ⇒ (p 又は q) の対偶は 「[ ク ] ⇒`r」 である。
[ ク ]
に当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。
p の否定`p は [ ク ] である。
0 ( p 且つ q )
1 (`p 且つ`q )
2 (`p 又は q )
3 (`p 又は`q )
(2) 次の 0 から 4 のうち, 命題 「(p 又は q) ⇒ r」 に対する反例となっている三角形は [ ケ ]
と [ コ ] である。
[ ケ ] と [ コ ] に当てはまるものを, 0 から 4 の内から一つずつ選べ。
但し, [ ケ ] と [ コ ] の解答の順序は問わない。
0 直角二等辺三角形
1 内角が 30°, 45°, 105°の三角形
2 正三角形
3 三辺の長さが 3, 4, 5 の三角形
4
頂角が 45°の二等辺三角形
(3) r は
p である為の [ サ ]。
[ サ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。
0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件ではない
2 十分条件であるが, 必要条件ではない
3 必要条件でも十分条件でもない
第二問 (25 点)
座標平面上にある点 P は, 点 A(-8, 8) から出発して, 直線 y = -x 上を x 座標が 1 秒あたり 2 増加するように一定の速さで動く。 又, 同じ座標平面上にある点 Q は, 点 P が A を出発すると同時に原点 O から出発して, 直線 y = 10x 上を x 座標が 1 秒あたり 1 増加するように一定の速さで動く。 出発してから t 秒後の 2 点 P, Q を考える。 点 P が O に到達するのは t = [ ア ] の時である。 以下, 0 < t < [ ア ] で考える。
(1) 点 P と x 座標が等しい x 軸上の点を P', 点 Q と x 座標が等しい x 軸上の点を Q' と置く。 △OPP' と △OQQ' の面積の和 S を t で表せば
S = [ イ ]t2 - [ ウエ ]t + [ オカ ]
となる。 これより 0 < t < [ ア ] に於いては, t = [ キ ]/[ ク ] で S は最小値 [ ケコサ ]/[ シ ] を採る。
次に, a を 0 < a < [ ア ] - 1 を満たす定数とする。 以下, a ≦ t ≦ a + 1 に於ける S の最小・最大について考える。
(i) S が t = [ キ ]/[ ク ] で最小となるような a の範囲は グラフ G が x 軸と異なる二点で交わるような a の値の範囲は
[ ス ]/[ セ ] ≦ a ≦ [ ソ ]/[ タ ]
である。
(ii) S が t = a で最大となるような a の値の範囲は 0 < a ≦ [ チ ]/ [ ツテ ] である。
(2) 三点 O, P, Q を通る二次函数のグラフが函数 y = 2x2 のグラフを平行移動したものになるのは, t = [ ト ]/[ ナ ] の時であり, x 軸方向に [ ニヌ ]/[ ネ ], y 軸方向に [ ノハヒ ]/[ フ ] だけ平行移動すれば良い。
第三問 (30 点)
点 O を中心とする半径 3 の円 O と, 点 O を通り, 点 P を中心とする半径 1 の円 P を考える。 円 P の点 O に於ける接線と円 O との交点を A, B とする。 又, 円 O の周上に点 B と異なる点 C を, 弦 AC が円 P に接するように採る。 弦 AC と円 P の接線を D とする。 この時
AP = √([ アイ ], OD = ([ ウ ]√[ エオ ])/[ カ ]
である。 更に, cos∠OAD = [ キ ]/[ ク ] であり, AC = [ ケコ ]/[ サ ] である。
△ABC の面積は [ シスセ ])/[ ソタ ] であり, △ABC の内接円の半径は [ チ ]/[ ツ ] である。
(1) 円 O の周上に, 点 E を線分 CE が円 O の直径となるように採る。△ABC の内接円の中心を Q とし, △CEA の内接円の中心を R とする。 この時 QR = [ テト ]/[ ナ ] である。 従って内接円 R は [ ニ ]。 [ ニ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。
0 内接する
1 異なる二点で交わる
2 外接する
3 共有点を持たない
(2) AQ = ([ ヌ ]√[ ネノ ])/[ ハ ]
であるから, PQ = (√[ ヒフ ])/[ ヘ ] となる。 従って [
ホ ]。
[ ホ ] に当てはまるものを, 次の0 から 3 の内から一つ選べ。
0 点 P は内接円 Q の周上にある
1 点 Q は円 P の周上にある
2 点 P は内接円 Q の内部にあり, 点 Q は円 P の内部にある
3 点 P は内接円 Q の内部にあり, 点 Q は円 P の外部にある
第四問 (25 点)
(1) 1 から 4 までの数字を, 重複を許して並べて出来る四桁の自然数は, 全部で [ アイウ ] 個ある。
(2) (1) の [ アイウ ] 個の自然数の内で, 1 から 4 までの数字を重複なく使って出来るものは [ エオ ] 通りある。
(3) (1) の [ アイウ ] 個の自然数の内で, 1331 のように, 異なる二つの数字を二回ずつ使って出来るものの個数を, 次の考え方に従って求めよう。
(i) 1 から 4 までの数字から異なる二つを選ぶ。 この選び方は [ カ ] 通りある。
(ii) (i) で選んだ数字の内小さい方を, 一・十・百・千の位の内, どの二箇所に置くか決める。 置く二箇所の決め方は [ キ ] 通りある。 小さい方の数字を置く場所を決めると, 大きい方の数字を置く場所は残りの二箇所に決まる。
(iii) (i) と (ii) より, 求める個数は [ クケ ] 個である。
(4) (1) の [ アイウ ] 個の自然数を, それぞれ別々のカードに書く。 出来た [ アイウ ] 枚のカードから一枚引き, それに書かれた数の四つの数字に応じて, 得点を次のように定める。
| ・四つとも同じ数字の時 | 9 点 |
| ・二回現れる数字が二つある時 | 3 点 |
| ・三回現れる数字が一つと, 一回だけ現れる数字が一つある時 |
2 点 |
| ・二回現れる数字が一つと, 一回だけ現れる数字が二つある時 |
1 点 |
| ・数字の重複がない時 | 0 点 |
(i) 得点が 9 点となる確率は [ コ ]/[ サシ ] で, 得点が 3 点となる確率は [ ス ]/[ セソ ] である。
(ii) 得点が 2 点となる確率は [ タ ]/[ チツ ], 得点が 1 点となる確率は [ テ ］/[ トナ ] である。
(iii) 得点の期待値は [ ニ ]/[ ヌ ] 点である。
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