解答 2

[5] y = sin x.

y' = cos x, y'' = -sin x.

n ∈ Z (整数) として

x	2nπ	…	(2n + 1/2)π	…	(2n + 1)π	…	(2n + 3/2)π	…	2(n + 1)π
y'	1	+	0	-	-1	-	0	+	1
y''	0	-			0	+			0
y	変曲点 0		極大 1		変曲点 0		極小 -1		変曲点 0

0 ≦ |y/x| = |(sin x)/x| ≦ 1/x → 0 as x → ±∞,
lim_x→±∞(y/x) = 0,
lim_x→±∞(y - 0・x) = lim_x→±∞ sin x は発散 (振動, つまり値が定まらない)。 従って y 軸に平行でない漸近線は存在しないが, 明らかに -1 ≦ y ≦ 1 なので, 明らかに y 軸に平行な漸近線も存在しない。

graph に関してはここに描いたのでそこを参照のこと。

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[6] y = tan x.

y' = sec² x, y'' = 2sec x・sec x tan x = 2sec² x tan x.

lim_x→±∞(y/x) = lim_x→±∞(tanx)/x は発散 (振動) する。 よって y 軸に平行でない漸近線は存在しない。 一方 y → ±∞ とすると x → (n - 1/2)π, n ∈ Z (整数).

graph については [5] と同様にここに描いたのでそこを参照のこと。

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[7] 3x² - 5x - xy + 2y + 6 = 0.

|x| ≫ 1 (「x の絶対値が (1 より) 充分大きい」 と読む) のとき, 与式の両辺を x² で割って

3 - 5/x - y/x + (y/x)(2/x) + 6/x² = 0.

ここで lim_x→±∞(y/x) が確定であるとすると 3 - lim_x→±∞(y/x) = 0 より lim_x→±∞(y/x) = 3 (適).

y - 3x = t と置くと, y = 3x + t. これを元の式に代入して

3x² - 5x - x(3x + t) + 2(3x + t) + 6
= x - (x - 2)t + 6 = 0 … (1)

|x| ≫ 1 の時, (1) 式の両辺を x で割って

1 - (1 - 2/x)t + 6/x = 0.

ここで x → ±∞ とすると, 1 - lim_x→±∞ t = 0. 故に lim_x→±∞ t = 1.

よって y = 3x + 1 は漸近線。

次に y → ±∞ の時に x が収束するかどうかを調べるために, 今それを仮定して, |y| ≫ 1 の時, 与式の両辺を y で割って,

3x²/y - 5x/y - x + 2 + 6/y = 0.

lim_y→±∞ x が確定という仮定から, y → ±∞ の時 -lim_y→±∞ x + 2 = 0. 従って x = 2 が漸近線。 (良く見ると y について整理したときの y の係数 = 0 と置いたときの式が漸近線になっていることが分かるであろう)

3x² - 5x - (x - 2)y + 6 = 0

x = 2 ⇒ 12 - 10 + 6 = 0 は矛盾だから, x ≠2.

よって (分子を分母で割算して)
y = (3x² - 5x + 6)/(x - 2) =((x - 2)( 3x + 1) + 8)/(x - 2) = 3x + 1 + 8/(x - 2).

従って漸近線は y = 3x + 1 と x = 2 (こっちは分母 = 0).

与式の両辺を x について微分すれば (合成函数の微分)
6x - 5 - y - xy' + 2y' = 0.
故に (上記の y について解いた式を代入して)
y' = (y + 5 - 6x)/(2 - x) = ((6x - 5)(x - 2) - (3x² - 5x + 6))/(x - 2)²
= (6x² - 17x + 10 - 3x² + 5x - 6)/(x - 2)²
= (3x² - 12x + 4)/(x - 2)².

従って y' = 0 と置くと (分子 = 0 と置けばよいので, 解の公式から) x = (6±2√6)/3 (≒0.36 & 1.73. 値を計算しなくても複号が - の方が + よりも小さいことは分かる).

同様に 6 - y' - y' - x・y'' + 2y'' = 0. 故に (上記の y' の式を代入して)
y'' = (6 - 2y')/(x - 2) = 16/(x - 2)³. (途中を大分省略した)

y = 0 とすると 3x² - 5x + 6 = 0. ところが x に関する判別式を採ると D = 25 - 12×6 = 25 - 72 < 0 より実数解はない。 一方 x = 0 と置くと 2x + 6 = 0 より y = -3.

x	…	(6-2√6)/3	…	2-0	2+0	…	(6+2√6)/3	…
y'	+	0	-	-∞	-∞	-	0	+
y''	-			-∞	+∞	+
y		極大 7 - 4√6		-∞	+∞		極小 7 + 4√6

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[8] 2x² - 3x - xy + y + 2 = 0.

y = (2x² - 3x + 2)/(x - 1) = ((x - 1)(2x - 1) + 1)/(x - 1) = 2x - 1 + 1/(x - 1).

従って, 漸近線は y = 2x - 1 と x = 1.

y' = 2 - 1/(x - 1)² = (2x² - 4x + 1)/(x - 1)².

y' = 0 とすれば x = (2 ± √2)/2.

y'' = 2/(x - 1)³.2x² - 3x - xy + y + 2 = 0

元の式に戻って, x について纏めると 2x² - (3 + y)x + (y + 2) = 0 で, x に関する判別式を取れば, D_x = (3 + y)² - 8(y + 2) = y² - 2y - 7 ≧ 0 がグラフが描かれる範囲だから, 解いて y ≦ 1 - 2√2, 1 + 2√2 ≦ y.

x = 0 ⇒ y = -2.

x	…	(2 - √2)/2	…	1-0	1+0	…	(2 - √2)/2	…
y'	+	0	-	-∞	-∞	-	0	+
y''	-			-∞	+∞	+
y		極大 1 - 2√2		-∞	+∞		極小 1 + 2√2

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