0
41/3
0
[16] y = (x + 1)1/3(x - 2)2/3.
x ≠ -1, 2 の時,
y' = (1/3)(x + 1)-2/3(x - 2)2/3 +(2/3)(x + 1)1/3(x - 2)-1/3
= (1/3)(x + 1)-2/3(x - 2)-1/3(x - 2
+ 2(x + 1))
= x(x + 1)-2/3(x - 2)-1/3.
y'x=-1±0 = +∞, y'x=2±0 = ±∞, resp.
dx/dy = 1/y' = 3(x + 1)2/3(x - 2)1/3/(3x - 4).
∴dx/dyx=-1 = +0, dx/dyx=2±0 = ±0, resp.
y'' = (x + 1)-2/3(x - 2)-1/3 - (2/3)x(x + 1)-5/3(x - 2)-1/3
- (1/3)x(x + 1)-2/3(x - 2)-4/3
= (1/3)(x + 1)-5/3(x - 2)-4/3(3(x
+ 1)(x - 2) - 2x(x - 2) - x(x + 1))
= (1/3)(x + 1)-5/3(x - 2)-4/3(3(x2 - x - 2) -
2x2 + 4 - x2 - x)
= (1/3)(x + 1)-5/3(x - 2)-4/3(3x2 - 3x - 6 - 2x2
+ 4x - x2 - x)
= (1/3)(x + 1)-5/3(x - 2)-4/3(-6)
= -2(x + 1)-5/3(x - 2)-4/3.
limx→±∞(y/x) = limx→±∞(1 + 1/x)1/3(1 - 2/x)2/3 = 1.
limx→±∞(y - 1・x) =
limx→±∞((x + 1)1/3(x - 2)2/3 - x)
=
limx→±∞(((x + 1)1/3(x - 2)2/3 -
x)(((x + 1)1/3(x - 2)2/3)2 + x(x + 1)1/3(x - 2)2/3
+ x2)/(((x + 1)1/3(x - 2)2/3)2 + x (x + 1)1/3(x - 2)2/3
+ x2)) … 分子の有理化
=
limx→±∞((x + 1)(x - 2)2 - x3)/((x + 1)2/3(x - 2)4/3
+ x(x + 1)1/3(x - 2)2/3 + x2)
=
limx→±∞((-3x2 + 4)/((x + 1)2/3(x - 2)4/3
+ x (x + 1)1/3(x - 2)2/3 + x2))
=
limx→±∞((-3 + 4/x2)/((1 + 1/x)2/3(1 -
2/x)4/3 + (1 + 1/x)1/3(1 - 2/x)2/3 +
1))
= -3/(1 + 1 + 1) = -1.
よって, y = x - 1 は漸近線。
y → ±∞ となる x はない。
| x | … | -1-0 | -1+0 | … | 0 | … | 2-0 | 2+0 | … |
| y' | + | +∞ | + | 0 | - | -∞ | +∞ | + | |
| y'' | + | × | - | × | - | ||||
| y | |
変曲点 0 |
|
極大 41/3 |
|
極小 0 |
|
||
注: 微分不可能な点でも, 極値点に成り得る。
注: (2, 0) は尖点 (cusp) と呼ばれる点の一例である。
[17] 
y 軸対称であるから, x ≧ 0 のところで graph を描いて, y 軸に対して折り返せばよい。 そこで以下では x ≧ 0 で考える。
y = x2/2 - 2x1/2, x ≧ 0 とする。 x ≠ 0 の時
y' = x - x-1/2 = (x3/2 - 1)x-1/2. y'x=+0 = -∞.
y'' = 1 + x-3/2/2 > 0 (∵ x > 0).
y → ±∞ とする x は存在しない。
limx→+∞(y/x) = limx→+∞(x/2 - 2/x1/2) = +∞.
従って漸近線は存在しない。
x 切片は x ≧ 0 では x = 0, 2・3√2.
| x | +0 | … | 1 | … |
| y' | -∞ | - | 0 | + |
| y'' | × | + | ||
| y | 0 (極大) |
 |
極小 -3/2 |
|
[18] xy2 = 1 - x.
これは x について解いた方が楽である。 (実は x 軸対称もすぐ分かる)
x(y2 + 1) = 1.
∴x = 1/(y2 + 1).
dx/dy = -2y/(y2 + 1)2 = -2y(y2 + 1)-2.
d2x/dy2 = -2(y2 + 1)-2 -
2y・2y・(-2)(y2 + 1)-3 = 2(-(y2 + 1) + 4y2)(y2 +
1)-3
= 2(3y2 - 1)/(y2 + 1)3.
x → ±∞ とする y は存在しないので, x 軸に平行な漸近線は存在しない。
y2 = 1/x - 1 なので, x → 0 の時, y → ±∞. 従って x = 0 (viz. y 軸) が漸近線。
念の為に
limy→±∞(x/y) =
limy→±∞(1/(y(y2 + 1))) = 0,
limy→±∞(x - 0・y) = 0 だから, y
軸以外の漸近線は存在しない。
| y | … | -3-1/2 | … | 0 | … | 3-1/2 | … |
| dx/dy | + | 33/2/8 | + | 0 | - | -33/2/8 | - |
| d2x/dy2 | + | 0 | - | 0 | + | ||
| x | |
変曲点 3/4 |
|
極大 1 |
|
変曲点 3/4 |
|
