解答 6

[19]  y = x² - cos 2x, -π ≦ x ≦ π.

y 軸対称だから, 0 ≦ x ≦ π で考えて, 折り返せばよい。

y' = 2x + 2 sin 2x = 2(x + sin 2x).
0 < x < π/2 ⇒ sin 2x > 0 より, y' > 0.
π/2 ≦ x < π ⇒ x > 1 より, y' > 0.
y'_x=+0 = 0.

y'' = 2(1 + 2cos 2x).
0 < x < π より, y'' = 0 となるのは cos 2x = -1/2, 即ち x = π/3, 2π/3.

y → ±∞ ならしめる x は存在しないので, 漸近線はなし。

x	+0	…	π/3	…	2π/3	…	π
y'	+0	+	2π/3+√3	+	4π/3-√3	+	(2π)
y''	+		0	-	0	+
y	-1 (極小)		変曲点 π2/9 + 1/2		変曲点 4π2/9 + 1/2		π2 - 1

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[20] .

y³ = x³ - x². ∴3y²y' = 3x² - 2x. ∴y' = x(3x -2)/(3・³√(x³ - x²)²).

6y(y')² + 3y²y'' = 6x - 2.
∴y'' = (6x - 2 - 6y(y')²)/(3y²)
= ((6x - 2)・9・³√(x³ - x²)⁴ - 6・(³√(x³ - x²))・x²(3x - 2)²)/(3・(³√(x³ - x²)²)・9・³√(x³ - x²)⁴)
= (3(6x - 2)(x³ - x²) - 2x²(3x - 2)²)・(³√(x³ - x²))/(9((x³ - x²)²))
= -2・(³√(x³ - x²))/(9x²(x - 1)²) = -2x^-4/3(x - 1)^-5/3/9.

lim_x→±∞(y/x) = lim_x→±∞(³√(1 - 1/x)) = 1,
lim_x→±∞(y - 1・x) = lim_x→±∞((³√(x³ - x²)) - x)
= lim_x→±∞((x³ - x² - x³)/((³√(x³ - x²)²) + x(³√(x³ - x²)) + x²))
= lim_x→±∞(-1/((³√(1 - 1/x))² + (³√(1 - 1/x)) + 1)) = -1/3.

よって漸近線は y = x - 1/3.

x	…	-0	+0	…	2/3	…	1	…
y'	+	+∞	-∞	-	0	+	+∞	+
y''	+	×		+			×	-
y		変曲点 0			極大 -(3√4)/3		変曲点 0

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[21] y = (x² + 2x + 3)/(x - 1)².

y = ((x - 1)² + 4x + 2)/(x - 1)² = 1 + (4(x - 1) + 6)/(x - 1)²
= 1 + 4/(x - 1) + 6/(x - 1)².

従って漸近線は x = 1, y = 1.

y = (x² + 2x + 3)(x - 1)^-2 と書き直して
y' = (2x + 2)(x - 1)^-2 -2(x² + 2x + 3)(x - 1)^-3
= ((2x + 2)(x - 1) - 2(x² + 2x + 3))(x - 1)^-3
= (2x² - 2 - 2x² - 4x - 6)/(x - 1)³
= (-4x - 8)/(x - 1)³
= -4(x + 2)/(x - 1)³.

y'' = -4(x - 1)^-3 - 4(x + 2)・(-3)(x - 1)^-4
= -4(x - 1 -3(x + 2))(x - 1)^-4
= -4(-2x - 7)/(x - 1)⁴
= 4(2x + 7)/(x - 1)⁴.

x	…	-7/2	…	-2	…	1-0	1+0	…
y'	-	-16/243	-	0	+	+∞	-∞	-
y''	-	0	+
y		変曲点 11/27		極小 1/3		+∞

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