対数の定義

もともと Napier (ネイピア, ナピア) の考えたときには, 指数という概念自体がなく, 非常に込み入った定義がなされているが, ここでは Leonhard Euler (オイラー) に従って, 次のように定義する。

a > 0, a ≠ 1 とする。 x = a^y であるとき y = log_a x と書き, y を a を底 (てい) base とする x の対数 logarithm, x をこの対数の真数と呼ぶ。 真数 x は正でなければならない。 底に関しては最初のように正で且つ 1 ではない。

従って y = log_a a^y である。即ち, 対数とは底を等しくしたときの指数を取り出す函数であるといえる。

又 でもある。 これらの二つの式は底が等しいとき, 対数函数と指数函数が互いに逆函数であることを示している。

因みに Napier は掛け算を, 三角函数の 「積を和に変える公式」 のように簡単に扱えないかと思って, この対数を考えたのだそうである。 これが実行できるというのは, 対数法則を調べてみれば分かる。

横浜国立大学教育人間科学部の根上生也氏は, 数学セミナー (12), 2002 「N の数学 (9) だいたいわかりの数学」 で log_a x とは x が a で何回割れるかである と 「定義」 している。

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