新しい函数の積分

[review]

今まで, 積分の公式として存在していたのは

, C は積分定数

だけであった。 そして, 積分に関しては:

与えられた函数 f(x) に関し, それを導函数にもつ函数 F(x), 即ち F'(x) = f(x) を函数 f(x) の原始函数 primitive, primitive function という。

ある函数 f(x) の原始函数の一つを F(x) とすると, 他のすべての函数は定数 C を用いて F(x) + C と書ける。

函数 f(x) の原始函数を

∫f(x) dx

と書いて言及し, これを f(x) の不定積分 indefinite integral という。

ということを既にやっていたのであった。

さて今や我々は新しい函数とその微分を幾つか学んでいる。 それらの内主要なものを列挙すると

(sin x)' = cos x,
(cos x)' = -sin x,
(log |x|)' = 1/x,
(e^x)' = e^x.

この三番目の式から, 懸案であった x^-1 の積分が出来る。

即ち

∫dx/x = ∫(1/x)dx = ∫x^-1 dx = log |x| + C, C は積分定数

あとの三つから次の各々の積分公式を得る:

∫sin x dx = -cos x + C, C は積分定数,
∫cos x dx = sin x + C, C は積分定数,
∫e^x dx = e^x + C, C は積分定数。

微分積分も最初のうちは, sin x, cos x の微分積分が混乱するが, これはもう慣れるしかない。

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