次の定理は有名である。
定理: 函数 f(x) が x = a で微分可能ならば f(x) は x = a で連続である。(しかしその逆は成立しない。)
実は逆の方が大切で, 連続だからといって微分可能とは限らないのである。 それは証明の後に述べるとして, 先ず証明:
limx→a f(x) = limx→a (f(a) + (x - a)((f(x) - f(a))/(x -
a)) … h = x - a と置く
= f(a) + limh→0 (h ((f(a + h) - f(a))/h) = f(a) + 0・f'(a) = f(a).□
連続であるが微分可能でない簡単で有名な例は f(x) = |x| である。 この函数は f(x) = x, x ≧ 0, f(x) = -x, x < 0 であるから, f'(x) = 1, x > 0, f'(x) = -1, x < 0 である。 従って x = 0 に於いては右側微分係数 right-hand derivative f'+(0) = limh→+0 (f(h) - f(0))/h = limh→+0 (h - 0)/h = +1, 左側微分係数 left-hand derivative f'-(0) = limh→-0 (f(h) - f(0))/h = limh→-0 (-h - 0)/h = -1 となって, f'+(0) ≠ f'-(0) だから微分可能ではない。
この例のように, 微分可能でないことを示すのに右側微分係数
f'+(a) = limh→+0 (f(a + h) - f(a))/h
と左側微分係数
f'-(a) = limh→-0 (f(a + h) - f(a))/h
を用いることがある。 又, これらは, 閉区間 [a, b] に於ける端点での微分可能性について言及するときにも用いられる。 即ち x = a で (有限値である) 右側微分係数 f'+(a), x = b で (有限値である) 左側微分係数 f'-(b) を持ち, (a, b) で (通常の意味で) 微分可能であるときに, f(x) は閉区間 [a, b] で微分可能であるといわれる。
さて, 通常の高校までの教科書だと, この辺までしか書いてないが, 実は, 数えられる程度の微分不可能な点を持つ連続函数なんていうのは上記から想像できるだろうが, 実は連続なのだが至る所微分不可能な函数というのが存在する。 有名なのは Weierstrass の例で
f(x) = Σn = 0 ∞ αn cos(πβnx), 0 < α < 1, β: 奇数, αβ > 1 + 3π/2, -∞ < x < ∞.
これについて述べるにはまだ準備が足りないので, そのうち述べることにする。 余談だが, ある数学者などは, この函数が発表された当時, そのような恐ろしい怪物からは目をそらしたと述べたとか。 しかし後になって実は連続函数のうち殆ど至るところ微分不可能な函数の方が多数派であることが分かったのであった。