後で使うかもしれないのでここで述べておく。
定理 [Weierstrass]
有限閉区間 [a, b] で連続な函数 f(x) は有界で, しかもそこで最大値と最小値とを持つ。
先ず, 有界性について。
f(x) が上界を持たないとする。 すると f(x0) > 0 となる x0 が存在し, 同様に f(x1) > 2f(x0) となる x1, ..., f(xn) > 2f(xn-1) > 2nf(x0) となる xn が存在する。 このようにして得られる数列 {xn} は閉区間 [a, b] の中の無数の相異なる点だから, [a, b] の中で集積点を持つ。 何故ならば, a0 = a, b0 = b として [a, (a + b)/2], [(a + b)/2, b] の少なくともどちらか一方には {xn} の無限個の点を含むので, そちら側を [a1, b1] とする (もし双方共持つなら, 例えば大きい方をとることに決めておく)。 今度は [a1, b1] を二等分して同様に [a2, b2] をとやっていくと, 区間縮小法の原理から一点が定まる, これが (一つの) 求める集積点である。 この集積点 (の一つ) を c としよう。 {xn} の部分列で c に収束するものを (一つ) とって, それを {x'n} とする。 すると, f(x) が連続であることから limn→∞ f(x'n) = f(limn→∞ x'n) = f(c). しかし, {xn} の作り方から f(x'n) > 2nf(x0) で, n → ∞だから (f(c) = ∞ ということを意味しており) c が f(x) の定義域に入っていないことになるので, それは矛盾である。 従って上界を持つ。 同様の議論で下界を持つことも分かるので有界である。
f(x) の上限を M と置く。 すると上記と同様に a0 = a, b0 = b として [a, (a + b)/2], [(a + b)/2, b] の少なくともどちらか一方は f(x) の上限が M になるので, そちら側を [a1, b1] とする (もし双方共持つなら, 例えば大きい方をとることに決めておく)。 今度は [a1, b1] を二等分して同様に [a2, b2] をとやっていくと, 区間縮小法の原理から一点が定まる。 その点を c とすると, c の連続性によって M = limn→∞ f(an) = f(limn→∞ an) = f(c). 従って f(x) は c で上限 --- 従って最大値 --- M をとる。 下限 (最小値) も同様である。
この定理では区間は閉区間でなければならない。 と言うのは例えば -π/2 < x < π/2 とすると, tan x はどのような実数でもとるから。
位相幾何学的に言うと, これは compact set の連続像は compact である, と言うことを述べているに過ぎない。