(2) G(x) = ∫x-12x t(t + 1) dt[review]
F(x) = ∫ax f(t) dt を積分函数と称するのであった。 前節, 積分の性質に述べたように, この時 F'(x) = f(x) であり, 又微分積分学の基本定理によって ∫ax f'(t) dt = f(x) - f(a) である。
本節では, 積分函数の微分及び最大値最小値などの問題を扱う。
例:
(1) 函数 f(x) = ∫0x t sin t dt, 0 ≦ x ≦ 2π の最大値, 最小値を求めよ。
解:
微分して f'(x) = x sin x. 函数値を求めるために, 部分積分して
f(x) = ∫0x t d(-cos t) = [-t cos t]0x
+ ∫0x cos t dt = -x cos x + [sin t]0x
= -x cos x + sin x.
| x | +0 | π | 2π-0 | ||
| f'(x) | +0 | + | 0 | - | -0 |
| f(x) | +0 | ↑ | 極大 π |
↓ | -2π+0 |
従って, 最大値 π (x = π), 最小値 -2π (x = 2π).
(2) a を定数 g(x) を微分可能な函数とするとき F(x) = ∫ag(x) f(t)dt を微分せよ。
解: u = g(x) と置くと, 合成函数の微分公式から
F'(x) = (d/dx) ∫ag(x) f(t)dt = (du/dx)(d/du)∫au f(t)dt = g'(x) f(u) = g'(x)f(g(x)).
[別解] f(t) の原始函数の一つを φ(t) とすると, 微分積分学の基本定理により
F(x) = φ(g(x)) - φ(a). 従って F'(x) = g'(x)φ'(g(x)) = g'(x)f(g(x)).
これから直ちに分かると思うが, g(x), h(x) が各々微分可能な函数であるとき
(d/dx)∫h(x)g(x) f(t)dt = g'(x)f(g(x)) - h'(x)f(h(x)) となる。
練習:
[1] 次の各々の函数を微分せよ
(1)
(2) G(x) = ∫x-12x t(t + 1) dt
[2] 函数 F(x) = ∫0x (1 - 2sin t)(1 + sin t) dt, 0 ≦ x ≦ 2π の graph を描け。
[3] 函数 F(x) = ∫x(√3)x √(1 - t2) dt, 0 ≦ x ≦
1/√3 について, 次の値を求めよ。
(1) max F(x). (2) limx→0 F(x)/x.
[4] dy/dx = f'(x) が連続 (即ち y = f(x) が連続的微分可能) なとき, 次の各々を求めよ。
(1) ∫ab (dy/dx) dx (2) ∫ab y(dy/dx)dx
(3) 
[5] f(x) が連続であるとき, 次の各々の函数を x で微分せよ。
(1) F(x) = ∫0x f(x - t) dt (2) G(x) = ∫0x
(x - t)f(t) dt.
解:
[1] (1) F'(x) = 2x・(x2 sin((x2)2)) = 2x3
sin (x4).
(2) G'(x) = 2・(2x(2x + 1)) - 1・(x - 1)(x - 1 + 1) = 4x(2x + 1) - (x - 1)x
= x( 8x + 4 - x + 1) = x(7x + 5).
[2] F'(x) = (1 - 2sin x)(1 + sin x).
F(x) = ∫0x (1 - sin t - 2sin2 t) dt = ∫0x
(cos 2t - sin t)dt = (1/2)sin 2x + cos x - 1.
| x | 0 | π/6 | 5π/6 | 3π/2 | 2π | ||||
| F'(x) | 1 | + | 0 | - | 0 | + | 0 | + | 0 |
| F(x) | 0 | ↑ | 極大 3(√3)/4 - 1 |
↓ | 極小 -3(√3)/4 - 1 |
↑ | 変曲点 -1 |
↑ | 0 |
(因みに F''(x) = -cos x(1 + 4sin x))
[3] F'(x) = (√3)√(1 - ((√3)x)2) - √(1 - x2) = √(3 - 9x2)
- √(1 - x2)
= ((3 - 9x2) - (1 - x2))/(√(3 - 9x2) + √(1 - x2))
= -2(2x + 1)(2x - 1)/(√(3 - 9x2) + √(1 - x2)),
F''(x) = -9x/√(3 - 9x2) + x/√(1 - x2).
(1) F''(1/2) = -8/√3, F''(-1/2) = 8/√3 より, F(1/2) が極大点。 F(x) は連続的微分可能で,
閉区間内で唯一の極大点を持っているから, この点が最大である。 従って
max F(x) = ∫1/2(√3)/2 √(1 - t2) dt = ∫π/6π/3
cos2x dx … t = sin x
= (1/2)∫π/6π/3 (1 + cos 2x) dx = (1/2)[x + (1/2)sin 2x]π/6π/3
= π/12.
(2) limx→0 F(x)/x = limx→0 (F(x) - F(0))/(x - 0) = F'(0) =
(√3) - 1.
[4]
(1) ∫ab (dy/dx) dx = ∫ab dy = [y]ab
= [f(x)]ab = f(b) - f(a).
(2) ∫ab y(dy/dx)dx = ∫ab ydy =
(1/2)[y2]ab = (1/2)[f(x)2]ab
= (f(b)2 - f(a)2)/2.
(3) 3x2f(x3) - 2xf(x2).
[5] (1) u = x - t と置くと, -dt = du
F(x) = ∫0x f(x - t) dt = -∫x0 f(u)du
= ∫0x f(u)du. ∴F'(x) = f(x).
(2) G(x) = ∫0x (x - t)f(t) dt = x∫0x
f(x)dt - ∫0x tf(t) dt.
∴G'(x) = ∫0x f(x)dt + xf(x) - xf(x) = ∫0x
f(x)dt. （積の微分)
このように, 上手く置換したり, 積分変数以外の変数を定数として積分外に追い出したり, 或いは部分積分することによってこれまでに知識で微分したり, 積分の計算が出来るものもある (三角函数など) が, 一般には計算は出来ない。
偏微分という道具を使うと, 被積分函数に微分する変数を含んでいる場合でも積分函数自体を微分することが出来る場合がある。 が, まだ偏微分をやっていないので, それは偏微分のあとに扱う予定である。