[区間に関する加法性]
函数 f(x) が [a, b] で可積ならば, その任意な部分区間で可積である。 又 a < c < b とするとき, [a, c], [c, b] の双方で可積であるならば, [a, b] でも可積で
∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx.
これは明らかであろう。 尚屡々これを f(x) dx を除いて ∫ab = ∫ac + ∫cb と書くときがある。
[積分不等式の基礎定理]
[a, b] で f(x), g(x) が共に可積で, [a, b] 上常に f(x) ≧ g(x) であるならば
∫ab f(x) dx ≧ ∫ab g(x) dx.
Riemann 和から極限に移れば明らか。
定理
[a, b] 上連続な函数 f(x) ≧ 0 について, もしも ∫ab f(x) dx = 0 ならば, [a, b] 上恒等的に f(x) = 0.
もしも c ∈ [a, b] で f(c) > 0 とすると, 連続だから, k > 0 と c ∈ [d, e] ⊂ [a, b] となる [d, e] が存在して [d, e] 上 f(x) ≧ k. すると上記の定理から
∫ab f(x) dx ≧ ∫de f(x) dx ≧ ∫de k dx = k(e - d) > 0. □
系
[a, b] で f(x), g(x) が共に可積で, [a, b] 上常に f(x) > g(x) であるならば ∫ab f(x) dx > ∫ab g(x) dx.
これまでそうしてきたように ∫ab f(x) dx = -∫ba f(x) dx. 従って ∫aa f(x) dx = 0 と約束する。
[置換積分の基礎定理]
I = [a, b] 上 f(x) は有限個の点を除いて連続, [α, β] で g(t) が微分可能且つ狭義単調増加で g'(t) が可積, φ(α) = a, φ(β) = b とすると
∫ab f(x) dx = ∫αβ f(g(t))g'(t) dt.
g(t) が狭義単調増加という条件は, 単調減少の時は g(t) の代わりに -g(t), 一般の時は積分区間の加法性によって, 区間を分割し, 区間ごとに単調函数にすれば, 適用できるので本質的ではない。 以下の証明を簡単に済ませるためにそう仮定してあるだけである。
証明: 仮定から両辺の積分は存在する。 g(t) が狭義単調増加であるから, 変数 t の区間 [α, β] に関する分割 Δ: α = t0 < t1 < t2 < … < tn-1 < tn = β の g による像 xk = g(tk) によって g(Δ): a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b を得る。 g(t) は連続だから一様連続なので, ∀ε > 0 に対し, ∃δ = δ(ε) > 0: tk - tk-1 < δ ⇒ xk - xk-1 = g(tk) - g(tk-1) < ε. ここで平均値の定理を用いれば, ∃ck ∈ (tk, tk-1): xk - xk-1 = g(tk) - g(tk-1) = g'(ck)(tk - tk-1). 従って Ck = g(ck) ∈ (xk, xk-1) で Riemann 和を考えると Σ f(Ck)(xk - xk-1) = Σ f(g(ck))g'(ck)(tk - tk-1) なので, 極限に行って証明される。□
既に述べたように, I = [a, b] 上 f(x) が可積である場合, x ∈ I に関し, [a, x] 上も f(x) は可積である。 従って
F(x) = ∫ax f(t) dt
とすると, これは I 上定義された函数である。 これを積分函数 integral function と呼ぶ。 (区別するときはこちらを不定積分という) t を積分変数 integral variable, f(t) を被積分函数 integrand と呼ぶ。
定義:
定数 K > 0 が存在して, 定義域内の任意の x, yで |f(x) - f(y)| ≦ K|x - y| が成立するとき, f(x) は Lipschitz 連続であるという。 (「Lipschitz の条件を満たす」 と言う方がより一般的であるようである)
定理:
Lipschitz 連続 ⇒ 連続
∵) y→x とすると |f(x) - limy→x f(y)| ≦ K limy→x |x - y| = 0. 即ち limy→x f(y) = f(x).
[積分函数の連続性]
積分函数は Lipschitz 連続である。
y ≦ x と仮定して一般性を失わない。 |F(x) - F(y)| = |∫ax f(t) dt - ∫ay f(t) dt| = |∫ax f(t) dt + ∫ya f(t) dt| = |∫yx f(t) dt| ≦ ∫yx |f(t)| dt ≦ ∫yx supI|f(t)| dt = (supI|f(t)|)(x - y) = (supI|f(t)|)|x - y|.
定理
更に積分函数は被積分函数の連続点で微分可能である。
この事実を函数解析の専門家は屡々 「正則性 regularity が上がる」 と表現する。
証明: f(x) は x で連続とする, このとき |t - x| < δ ⇒ |f(t) - f(x)| < ε だから 0 < |h| < δ である限りにおいて
|(F(x +h) - F(x))/h - f(x)| = |(1/h)∫xx+h f(t)dt - (1/h)hf(x)| = |(1/h)∫xx+h (f(t) - f(x))dt| ≦ ε|(1/h)∫xx+h dt| = ε. □
この事実に基づき, F'(x) = f(x) が成り立つような微分可能な函数 F(x) を f(x) の (一つの) 原始函数と呼ぶ。
上記のように不定積分と原始函数とを区別すると, ある函数 f(x) に対してその一方が存在するからといって他方が必ず存在するとはいえない。 f(x) が不連続点を持てば, 不定積分は連続だが微分可能ではないから原始函数は存在しないことになる。 又 Vito Volterra は原始函数は存在するが不定積分は存在しないという例を与えているそうである。
函数 f(x) の原始函数の一つを F(x) とする。 f(x) の原始函数全体を (積分区間を書かずに) ∫f(x) dx と書くと C を定数として
∫f(x) dx = F(x) + C
と書ける。 この C を積分定数 integral constant といい, 原始函数を求めることを f(x) を積分するという。
[微分積分学の基本定理]
f(x) は [a, b] 上可積でその原始函数 (の一つ) が F(x) であるならば
∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) - F(a).
いつものように分割 Δ をとると, 平均値の定理から ck ∈ (xk, xk-1) が存在して
F(b) - F(a) = Σk=1n (F(xk) - F(xk-1)) = Σk=1n F'(ck)(xk - xk-1).
[積分の第一平均値の定理]
閉区間 I = [a, b] で f(x), g(x) は可積, I 上 g(x) ≧ 0 とすると infI f(x) ≦ k ≦ supI f(x) なる k が存在して ∫ab f(x)g(x) dx = k∫ab g(x) dx. 特に f(x) が連続の時は k = f(c), c ∈ (a, b) とすることが出来る。 尚, g(x) ≦ 0 on I としても同様。
注: g(x) = 1 とするとき, これは ∫ab f(x)g(x) dx = k(b - a) だから (1/(b - a))∫ab f(x)g(x) dx = k 即ち, 積分を区間の幅で平均すると f(x) の sup と inf の間の値になるという極めて当然の事実を述べている。 「測度」 として dx ではなくて g(x)dx をとっても同じだということを述べているのである。
証明: (infI f(x))g(x) ≦ kg(x) ≦ (supI f(x))g(x) の辺々を積分すればよい。 f(x) が連続な時は, f(x) に中間値の定理を適用する。
[Weierstrass-du Bois Reymond の第二平均値の定理]
閉区間 I = [a, b] で f(x), g(x) が可積, f(x) は単調とする。 このとき c ∈ I が存在して ∫ab f(x)g(x) dx = f(a)∫ac g(x) dx + f(b)∫cb g(x) dx.
[Bonnet の第二平均値の定理]
更に f(x) ≧ 0 とする。
f(x) が減少函数ならば ∫ab f(x)g(x) dx = f(a)∫ac g(x) dx,
f(x) が増加函数ならば ∫ab f(x)g(x) dx = f(b)∫cb g(x) dx
となる c ∈ I が存在する。
証明: 先ず Bonnet の方を減少函数の場合に関して証明する (増加の方は同様)。
今までと同様, g(x) に関して, 分割 Δ と I_k = Ik = [xk, xk-1] 上の上限, 下限を Mk, mk と書くことにすると, 区間 [xk, xk-1] 上に積分の第一平均値の定理を適用することによって mk ≦ ck ≦ Mk が存在して ∫I_k g(x)dx = ck(xk - xk-1). f(x) は減少函数なので
|Σk=1n f(xk-1)ck(xk -
xk-1) - Σk=1n f(xk-1)g(xk-1)(xk
- xk-1)|
= |Σk=1n f(xk-1)(ck - g(xk-1))(xk
- xk-1)|
≦ Σk=1n f(xk-1)|ck - g(xk-1)|(xk
- xk-1)
≦ Σk=1n f(xk-1)(Mk - mk)(xk
- xk-1)
≦ f(a)Σk=1n (Mk - mk)(xk
- xk-1).
g(x) が可積だから δ(Δ)→0 とするとき, 右辺→0. 従って
Σk=1n f(xk-1)∫I_k g(x)dx = Σk=1n f(xk-1)ck(xk - xk-1) → ∫ab f(x)g(x)dx.
表記の都合上 x_k = xk, x_(k-1) = xk-1 と書くと
Σk=1n f(xk-1)∫I_k g(x)dx = Σk=1n f(xk-1)∫x_(k-1)x_k g(x)dx
= Σk=1n f(xk-1)(∫ax_k g(x)dx
- ∫ax_(k-1) g(x)dx)
= Σk=1n f(xk-1)∫ax_k g(x)dx
- Σk=1n f(xk-1)∫ax_(k-1) g(x)dx
= Σk=1n f(xk-1)∫ax_k g(x)dx - Σk=2n+1 f(xk-1)∫ax_(k-1) g(x)dx
+ f(b)∫ab g(x)dx
= Σk=1n f(xk-1)∫ax_k g(x)dx - Σk=1n f(xk)∫ax_k g(x)dx
+ f(b)∫ab g(x)dx
= Σk=1n (f(xk-1) - f(xk))∫ax_k g(x)dx
+ f(b)∫ab g(x)dx.
(この technique を Abel 変換という) さて, G(x) = ∫ax g(x)dx とし, (G(x) は I 上連続なので) L = minI G(x), K = maxI G(x) と置くと L ≦ G(xk) = ∫ax_k g(x)dx ≦ K. 更に f(xk-1) - f(xk) ≧ 0, f(b) ≧ 0 であるから
Lf(a) = L(Σk=1n (f(xk-1) - f(xk)) + f(b)) ≦ (Σk=1n (f(xk-1) - f(xk)) + f(b))G(xk) = Σk=1n f(xk-1)∫I_k g(x)dx ≦ K(Σk=1n (f(xk-1) - f(xk)) + f(b)) = Kf(a).
従って δ(Δ)→0 の時 Lf(a) ≦ ≦ Kf(a).
G(x) が連続函数であるから中間値の定理から定理の式が得られる。
Weierstrass-du Bois Reymond の方は f(x) が増加函数の時 f(b) - f(x) は減少函数だから, Bonnet の第二平均値の定理から ∫ab (f(b) - f(x))g(x)dx = (f(b) - f(a))∫ac g(x) dx が得られるが, これから f(b)∫ab g(x)dx - ∫ab f(x)g(x)dx = f(b)∫ac g(x) dx - f(a)∫ac g(x) dx 即ち
∫ab f(x)g(x)dx = f(b)∫ab g(x)dx - f(b)∫ac g(x) dx + f(a)∫ac g(x) dx = f(a)∫ac g(x) dx + f(b)∫cb g(x) dx. □