lim_n→∞ (n^kaⁿ)

|a| < 1, k > 0 ⇒ lim_n→∞ (n^kaⁿ) = 0

言い換えれば

|b| > 1, k > 0 ⇒ lim_n→∞ (n^k/bⁿ) = 0.

主張したいことは, n → ∞ の極限においては, |b| > 1, k > 0 の時, bⁿ の方が n^k よりもずっと大きいということである。

証明には二項定理を使う。 最初のものだけ証明すれば, 下は b = 1/a と置けばそれで良い。

α > 0 を用いて, |a| = 1/(1 + α) と置く。 すると

|a|ⁿ = １/(1 + α)ⁿ = 1/(Σ_r=0ⁿ_nC_rα^r)

ここで n は十分大きいとして良い。 更に m > k として, 分母の和を一部分だけにすれば, 分母の値が小さくなる, 即ち全体としては大きくなるので

|a|ⁿ = 1/(Σ_r=0ⁿ_nC_rα^r) < 1/(_nC_mα^m) = m!(n - m)!/(n!α^r) = m!/(n(n-1)(n-2) … (n - m + 1) α^m).

だから

0 < |n^kaⁿ| < m!n^k/(n(n-1)(n-2) … (n - m + 1) α^m)
= .

戻る