極限の例

(1) a_n = (-n² + 1)/(3n³ - 2n).

取り敢えず, 先ず n = ∞ を代入してみる。 すると (-∞ + 1)/(∞ - ∞) で (分母が既に) 不定形である。 「(分母の) 最高次で割る」 という第一の方針に従うことにしよう。 分母 3n³ - 2n の次数は 3 である。 従って, 分子分母を n³ で割ってみる。 すると (最初だから詳しく書くと)

(∵ -1/∞ = 0, 1/∞³ = +0, -2/∞² = -0)

lim を使って書くと

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ ((-n² + 1)/(3n³ - 2n)) = lim_n→∞ ((-1/n + 1/n³)/(3 - 2/n²))
= (-lim_n→∞ (1/n) + lim_n→∞ (1/n³))/(3 - lim_n→∞ (2/n²))
= (-0 + 0)/(3 - 2×0) = 0/3 = 0.

(答案にはこの程度を書けばよい)

(2) (-n² + 1)/(2n² + n).

同様に n = ∞ を直接代入してみると (-∞ + 1)/(∞ + ∞) = -∞/∞ でやはり不定形だから, 分母を見る。 分母 2n² + n は二次式だから, 分子分母を n²  で割ると,

a_n = (-n² + 1)/(2n² + n) = (-1 + 1/n²)/(2 + 1/n) → (-1 + 0)/(2 + 0) = -1/2, as n → ∞.

lim で書くと (面倒なのだが)

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ ((-n² + 1)/(2n² + n)) = lim_n→∞ ((-1 + 1/n²)/(2 + 1/n))
= (-1 + lim_n→∞ (1/n²))/(2 + lim_n→∞ (1/n)) = (-1 + 0)/(2 + 0) = -1/2.

(3) a_n = 3n - n²/5.

直接 n = ∞ を代入すると, ∞ - ∞ の不定形。 分母に n が出てこないが, 最初の方針の括弧 () を飛ばして読むと 「最高次の係数で割る」。 ここで 「割る」 とは 「括 (くく) る という意味だと理解する。 つまり

a_n = 3n - n²/5 = (3n - n²/5)(1/n²)×n² … 同じもので掛けて割る
=  (3/n - 1/5)×n² → -∞ as n → ∞.

(∵ 最後の行で n = ∞ を代入すると
(3/∞ - 1/5)×∞² = (0 - 1/5)×∞ = (-1/5)×∞ = - ∞.)

lim で書くと

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ (3n - n²/5) = lim_n→∞ (n²((3/n - 1/5))) = -∞.

(4) a_n = (√(n + 2)) - √n.

直接 n = ∞ を代入すると, √∞ - √∞. ここで ∞² = ∞×∞ = ∞ だったことを思い出すと (多少強引だが) √∞ = √(∞²) = ∞。 従って ∞ - ∞ の不定形である。 二番目の方針は 「無理式 (特に差形) は有理化」 である。 ここで有理化を少し復習しておく。 乗法公式 (所謂和と差の積の公式): (x - y)(x + y) = x² - y² を用いて

これが無理数の分母の有理化と呼ばれるものであった。 今度の問題では, 分母ではなくて分子を有理化する。 即ち

(分母が ∞ になる理由は, 先程述べたとおり)

lim で書くと

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ ((√(n + 2)) - √n)
= lim_n→∞ (((√(n + 2)) - √n)((√(n + 2)) + √n)/((√(n + 2)) + √n))
= lim_n→∞ (((n + 2) - n)/((√(n + 2)) + √n))
= lim_n→∞ (2/((√(n + 2)) + √n)) = 0.

(5) a_n = √(n² + 2n + 3) - √(n² - n + 1).

n² + 2n + 3 = n²(1 + 2/n + 3/n²) → ∞,
n² - n + 1 = n²(1 - 1/n +1/n²) → ∞, as n → ∞

だから ∞ - ∞ の不定形である。 (4) と同様に分子の有理化を考える。 一寸途中を飛ばして書くが

a_n = √(n² + 2n + 3) - √(n² - n + 1)
= ((n² + 2n + 3) - (n² - n + 1))/(√(n² + 2n + 3) + √(n² - n + 1))
= (3n + 2)/(√(n² + 2n + 3) + √(n² - n + 1)).

これはまだ ∞/∞ の不定形なので, 第一の方針 「(分母の) 最高次で割る」 を適用する。 ところで分子は √(二次式) なので (いい加減な感じを受けるかもしれないが) 大体 √(n²) = n 即ち一次式相当であると考えて良い。 そこで分子分母を n で割ると n > 0 より (1/n)√a = √(a/n²) が成立するから,

a_n = (3 + 2/n)/(√(1 + 2/n + 3/n²) + √(1 - 1/n + 1/n²))
→ 3/(1 + 1) = 3/2, as n → ∞.

lim を用いて書くと

lim_n→∞ a_n = lim_n→∞ (√(n² + 2n + 3) - √(n² - n + 1))
= lim_n→∞ (((n² + 2n + 3) - (n² - n + 1))/(√(n² + 2n + 3) + √(n² - n + 1)))
= lim_n→∞ ((3n + 2)/(√(n² + 2n + 3) + √(n² - n + 1)))
= lim_n→∞ ((3 + 2/n)/(√(1 + 2/n + 3/n²) + √(1 - 1/n + 1/n²)))
= 3/(1 + 1) = 3/2.

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