証明

最初の定理:

lim_n→∞ a_n = α ⇒ ∀ε > 0∃N∈N(n > N ⇒ |a_n - α| < ε)

だから |a_n - α| < ε ⇒ -ε < a_n - α < ε ⇒ α - ε < a_n < α + ε. 即ち

lim_n→∞ a_n = α ⇒ ∀ε > 0∃N∈N(n > N ⇒ α - ε < a_n < α + ε).

ここで M > max (|a₁|, |a₂|, ...,|a_N|, |α - ε|, |α + ε|) とする (max は括弧の中の数の最大値 maximum を示す。|α - ε| が list にあがっているのは, α < 0 だと, |α - ε| > | α + ε| だからである)。

i) n ≦ N の場合は, a_n は a₁, a₂, ...,a_N のどれかに等しい。 ∴|a_n| < M .

ii) n > N の場合は, α ≧ 0 ⇒ |a_n| < | α + ε| < M で, α < 0 ⇒ |a_n| < |α - ε| < M.

従って何れにしても |a_n| < M.

次に lim_n→∞ a_n = α & |a_n| < M とする (以下背理法)。 もしも仮に | α | > M としよう。 この時,
∃M': |α| > M' > M (例えば M' = (|α| + M)/2).

ところがこの時三角不等式から
|a_n - α| = |α - a_n| ≧ |α | - |a_n|
だが | α | > M', |a_n| > M' 従って -|a_n| > -M だから
|a_n - α| = | α - a_n| ≧ | α | - |a_n| > M' - M > 0.

これは収束の条件 ∀ε > 0∃N∈N(n > N ⇒ |a_n - α| < ε) と矛盾している■

二番目の定理:

収束するという仮定なので lim_n→∞ a_n = α, lim_n→∞ b_n = β と置いて一般性を失わない。

(1)  lim_n→∞ ca_n = c・lim_n→∞ a_n.

c = 0 ならば明らかなので, c ≠ 0 とする。

定義により ∀ε > 0∃N∈N(n > N ⇒ |a_n - α| < ε). 故に
∀ε > 0∃N∈N(n > N ⇒ |ca_n - cα| = |c||a_n - α| < cε).

ここで cε = ε' と置けば, ∀ε' > 0∃N∈N(n > N ⇒ |ca_n - c α| = |c||a_n - α| < ε') だから。

(2) lim_n→∞ (a_n ± b_n) = lim_n→∞ a_n ± lim_n→∞ b_n.

複号は + だけ考えれば a_n - b_n = a_n + (- b_n) と考えれば, (1) から証明できるので + の方だけ証明する。 定義から
∀ε₁ > 0∃N₁∈N(n > N₁ ⇒ |a_n - α| < ε₁),
∀ε₂ > 0∃N₂∈N(n > N₂ ⇒ |b_n - β| < ε₂).

n > max(N₁, N₂), ε = ε₁ + ε₂ と置くと, 三角不等式から

|(a_n + b_n) - (α + β)| = |(a_n - α) + (b_n - β)| ≦ |a_n - α| + |b_n - β| < ε₁ + ε₂ = ε.

だから。 (「ε = ε₁ + ε₂ と置く」 という部分がもしも気になるのであれば最初から ε₁ = ε₂ = ε/2 と置けばよい。)

(3) lim_n→∞ (a_n・b_n) = (lim_n→∞ a_n)・(lim_n→∞ b_n).

(a_nb_n) - (αβ) = (a_nb_n) - αb_n + αb_n - (α β)
= (a_n - α)b_n + α(b_n - β)

ここで最初の定理から |b_n| < M, |α| ≦ M となる M > 0 が存在するので,

|(a_nb_n) - ( α β)| ≦ M(|a_n - α| + |b_n - β|) < Mε

だが, (1) と同じ論法で証明される。

(4) は lim_n→∞ (1/b_n) = 1/(lim_n→∞ b_n) を証明すれば, (3) から証明される。

さて 1/b_n - 1/β = (b_n - β)/(b_nβ) であるが, 仮定より β = lim_n→∞ b_n ≠ 0 だから |β| > 0. しかも ∀ε₂ > 0∃N₂∈N(n > N₂ ⇒ |b_n - β| < ε₂) なのだから, n >N₂ なる限りにおいて |b_n| > |β|/2 (β - ε₂ < b_n < β + ε₂ なのだったから, β > 0 ならば ε₂ = β/2 と置き, β < 0 ならば ε₂ = -β/2 と置けばよい). 従って
|1/b_n - 1/β| = |(b_n - β)/(b_n β)| =  |b_n - β|/|b_nβ| ≦ 2|b_n - β|/|β|² < 2ε₂/|β|² であるから。■

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