無限級数 Σn=1 ∞ an の第 n 部分和を, いつものように Sn と置こう。 すると n ≧ 2 の時 an = Sn - Sn-1 である。 ここで無限級数 Σn=1 ∞ an が収束して, その和が S であるとしよう。 このとき明かに limn→∞ Sn = limn→∞ Sn-1 = S であるから特に limn→∞ an = limn→∞ Sn - limn→∞ Sn-1 = S - S = 0 でなければならない。 つまり
無限級数 Σn=1 ∞ an が収束するならば limn→∞ an = 0.
これの対偶を取ると, 次の非常に簡明な収束判定法を得る:
limn→∞ an ≠ 0 ⇒ 無限級数 Σn=1 ∞ an は収束しない。
注: この判定法は limn→∞ an ≠ 0 の時しか意味を持たない。即ち limn→∞ an = 0 の場合にはどうなるかまったく分からない。 例えば, Σn=1 ∞ 1/n は limn→∞ an = limn→∞ 1/n = 0 であるが, 収束するとは言えない。 後で述べるように, これは実は +∞ に発散する。 又勿論 Σn=1 ∞ (1/2)n は limn→∞ an = limn→∞ (1/2)n = 0 であり Σn=1 ∞ (1/2)n = (1/2)/(1 - 1/2) = 1 で収束する。
参考: この収束判定法は (数列に関する) Cauchy (コーシー) の収束判定法の特殊な場合である。 又, もう少し強力な無限級数の収束判定法としては Cauchy の (無限級数に関する) 収束判定法, d'Alembert (ダランベール) の収束判定法が知られているが, これらは補遺で扱うことにする。
例) 次の級数の収束発散を調べよ。
(1) Σn=1 ∞ n/(n + 1).
(2) 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … + (-1)n + …….
(3) 3・4/(1・2) + 4・5/(2・3) + 5・6/(3・4) + … + (n + 2)(n + 3)/(n(n + 1)) + …….
(4) 1 + 2・2 + 3・22 + 4・23 + … + n・2n-1 + …….
(5) sin 1 + 2 sin 2 + 3 sin 3 + … + n sin n + …….
解)
(1) limn→∞ n/(n + 1) = limn→∞ 1/(1 + 1/n) = 1 ≠ 0 だから発散する。
(2) (-1)n は振動するので発散する。
(3) limn→∞ (n + 2)(n + 3)/(n(n + 1)) = limn→∞ (1 + 2/n)(1 + 3/n)/(1 + 1/n) = 1 ≠ 0 だから発散する。
(4) n・2n-1 > 2n-1 → +∞ (as n → ∞) より発散する。
(5) n sin n は振動するので発散する。