一般の集合 A の二元 a1, a2 に対し, A の元 a3 を対応させる規則 φ(a1, a2) = a3 がどのような a1, a2 に対しても定まっているとき, この φ を (A 上の) (二項) 演算 (binary) operation (on A) という。
以下記号が煩わしいので, 簡単の為に φ(a1, a2) = a1・a2 と書く。
A 上の二項演算が結合法則 a1・(a2・a3) = (a1・a2)・a3 を満たすとき, A はこの演算 ・ に関し半群 semi group を作るという。 N, Z+, Z, Q+, Q, R, R+ 上で + や × を考えると全て半群である。
A 上の二項演算を B ⊂ A 上で考えたとき, 全ての b1, b2 に対し b1・b2 ∈ B となるならば, B は二項演算 ・ に関し閉じている closed という。 例えば, Z 上で × を考えるとこれは半群であるが, Z- 上では × は閉じていない。 しかし, Z 上の + は Z- で閉じている。