球 (より正確にいえば 「球面 sphere」) とは:
中心 centre と呼ばれる点 C(c1, c2, c3) から半径 radius と呼ばれる一定の距離にある点 P(x, y, z) の集合
のことである。 つまり
S2 = {(x, y, z)| (x - c1)2 + (y - c2)2 + (z - c3)2 = r2}
をいう。
ベクトルで書くと, C(c), P(p) として, |p - c| = r である。
球を中心を通る平面で切断すると, 切り口は半径 r の円になる。 この円を, その球の大円 great circle と呼ぶ。 容易に分かるように, 球を平面で切断して得られる円の内, 大円が半径最大のものである。
さて, 一つの球の直径の両端点 A(a), B(b) が与えられていたとしよう。 A, B とは異なる球面上の任意の点 P(p) を与えると, 三点 A, B, P で一つの平面を決定する。 この平面で球を切断すると大円が出来る。 この大円で考えれば ∠ABP は直角である。 従って PA・PB = 0 で, AP = -PA, BP = -PB であるから即ち AP・BP = 0, つまり
(p - a)・(p - b) = 0
となる。 この式は当然 P = A 又は P = B でも成立する。 従って, この式が直径の両端点を与えたときの球の方程式になる。
ところで, 球と点, 直線, 平面との距離は, 0 でない限り, 中心とそれらの図形との距離を求めて, 半径を引けばよいということは容易に分かるであろう。
問: 直径の両端 A(a), B(b) が与えられた球の方程式を, 中心と半径を先に求めてから求めよ。
解:
中心の位置ベクトルは (a + b)/2, 半径は |a - b|/2 であるから,
|p - (a + b)/2| = |a
- b|/2
|2p - (a + b)| = |a -
b|
|2p - (a + b)|2 = |a
- b|2
(2p - (a + b))・(2p - (a
+ b)) = (a - b)・(a -
b)
4|p|2 - 4(a + b)・p
+ |a|2 + 2a・b + |b|2
= |a|2 - 2a・b + |b|2
4|p|2 - 4(a + b)・p
+ 4a・b = 0
|p|2 - (a + b)・p
+ a・b = 0
(p - a)・(p - b) = 0.