=
= 2.正弦函数と余弦函数の微分のところに述べたように, 三角函数の基本の殆どは, 極限
limx→0 (sin x)/x = 1
に帰結される。 これ以外の場合は殆どが |sin x| ≦ 1 を考えて挟み撃ちである。
例: 次の各々の極限値を求めよ。
(1) limx→0 (sin 2x)/x.
(2) limx→0 (tan 2x)/sin x.
(3) limx→0 (1 - cos x)/x2.
(4) limx→0 (tan x - sin x)/x3.
(5) limx→π/2 (cos x)/(2x - π).
(6) limx→0 x sin(1/x).
(7) limx→∞ x sin(1/x).
(8) limx→0 (sin(cos(πx/2)))/(x - 1).
答:
(1) 与式 = limx→0 2(sin 2x)/(2x) = limt→0 2(sin t)/t = 2. (t = 2x → 0)
(2) 与式 = limx→0 ((sin 2x)/(cos 2x))/sin x = limx→0 (sin
2x)/(sin x cos 2x)
= = 2.
[別解] 二倍角の公式により
与式 = limx→0 (2tan x)/((1 - tan2 x)sin x) = 2limx→0 ((sin x)/x))/((1 - tan2 x)((sin x)/x)cos x) = 2.
(3) 与式 = limx→0 ((1 - cos x)(1 + cos x))/(x2(1 + cos
x))
= limx→0 (1 - cos2 x)/(x2(1 + cos x)) = limx→0
(sin2 x)/(x2(1 + cos x))
= limx→0 ((sin x)/x)2/(1 + cos x) = 1/(1 + 1) = 1/2.
[別解] 半角の公式によって
与式 = 2limx→0 ((1 - cos x)/2)/x2 = 2limx→0 (sin2 x/2)/x2 = (1/2)limx→0 ((sin x/2)/(x/2))2 = 1/2.
(4) (3) により
与式 = limx→0 ((sin x)/(cos x) - sin x)/x3 = limx→0
((sin x)/x3)(1/(cos x) - 1)
= limx→0 ((sin x)/x3)(1 - cos x)/cos x) = limx→0
((sin x)/x)(1/cos x)(1 - cos x)/x2
= 1×1×1/2 = 1/2.
(5) x = π/2 + t と置くと, t = x - π/2 → 0 (aｓ x → π/2).
与式 = limt→0 (cos (π/2 + t))/(π + 2t - π) = limt→0 (sin t)/t = 1.
(6) 0 ≦ |sin(1/x)| ≦ 1 であるから 0 ≦ |x sin(1/x)| ≦ |x| → 0 (as x → 0). 従って 与式 = 0.
注: これは limx→±∞ (sin x)/x = 0 で t = 1/x と置換したものと同じである。
(7) 与式 = lim1/x→+0 (sin (1/x))/(1/x) = 1.
(8) t = x - 1 と置くと, t → 0 (as x → 1) で,
与式 = limt→0 (sin(cos(π/2 + πt/2)))/t = limt→0 (sin(sin(πt/2)))/t = (π/2)limt→0 (sin(sin(πt/2)))/(sin(πt/2)・sin(πt/2)/(πt/2) = π/2.
練習: 次の各々の極限値を求めよ。
(1) limx→0 (sin 3x)/(2x).
(2) limx→0 x/(tan 2x).
(3) limx→0 (sin2 x)/(1 - cos x).
(4) limθ→0 (1 - cos 3θ)/θ2.
略解:
(1) 3/2, (2) 1/2, (3) 1, (4) 9.