Vectors の加法について次の二つの性質が成立する:
(a + b) + c = a + (b + c).
a + b = b + a.
結合法則が成り立つので, vectors は加法に関し半群 semi-group を作ると言われ, 特に交換法則も満たすので可換半群 commutative semi-group, abelian semi-group であると言われる。
性質の証明:
a = AB, b = BC, c = CD と置く。
この時 a + b = AB + BC = AC が縮約律から言える。 以下同様にして (a + b) + c = AC + CD = AD.
又 b + c = BC + CD = BD であるから a + (b + c) = AB + BD = AD.
従って, (a + b) + c = a + (b + c).
次に交換法則の方は実は平行四辺形則の方では対称性から明らかなのであるが, 一応繋ぎ合わせの法則の方で示しておこう。
a = AD = BC, b = AB = DC を □ABCD の上で考える。
この時 a + b = AB + BD = AD. 一方 b + a = AC + CD = AD.
従って a + b = b + a.□
(この □ の記号は証明が終わったことを示す。 Paul Halmos の Measure Theory による。)
このように結合法則が成立するので, a + b + c のように, 不必要な括弧は出来るだけ省略して書く。
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