重心

△ABC について一つの頂点と 「その対辺の中点」 とを結んで出来る線分を中線 median (line) という。

定理 [重心定理]

三角形の三中線は一点で交わる。

証明: A(a), B(b), C(c) として△ABC を考え, 辺 BC の対辺の中点を M_A 等々と置くと, 分点の公式から M_A((b + c)/2), M_B((c + a)/2), M_C((a + b)/2) である。 直線のベクトル方程式より, 三中線の方程式は

A∪M_A: p₁ = (1 - t₁)a + t₁(b + c)/2,
B∪M_B: p₂ = (1 - t₂)b + t₂(c + a)/2,
C∪M_C: p₃ = (1 - t₃)c + t₃(a + b)/2

となる。 従って (A∪M_A)∩(B∪M_B) (つまり中線 A∪M_A と B∪M_B との交点) を考えると, 上記の上二つの式から

(1 - t₁)a + t₁(b + c)/2 = (1 - t₂)b + t₂(c + a)/2.
2(1 - t₁)a + t₁b + t₁c = 2(1 - t₂)b + t₂c + t₂a
(2 - 2t₁ - t₂)a + (t₁ - 2 + 2t₂)b + (t₁ - t₂)c = 0
(2 - 2t₁ - t₂)a + (t₁ - 2 + 2t₂)b - ((2 - 2t₁ - t₂) + (t₁ - 2 + 2t₂))c = 0
(2 - 2t₁ - t₂)(a - c) + (t₁ - 2 + 2t₂)(b - c) = 0.

ここで a - c と b - c が一次従属とすると CA || CB. よって共線の定理によって三点 A, B, C が同一直線上にあって △ABC が作られていることと矛盾するから a - c と b - c は一次独立。 従って

2 - 2t₁ - t₂ = 0,
t₁ - 2 + 2t₂ = 0.

この連立方程式を解くと t₁ = t₂ = 2/3. 従って G(p_G) = (A∪M_A)∩(B∪M_B) とすると

p_G = (1/3)a + (2/3)((b + c)/2) = (a + b + c)/3.

同様にして G'(p_G') = (B∪M_B)∩(C∪M_C) を考えると t₂ = t₃ = 2/3. となって p_G = p_G' を得る。 従って (A∪M_A)∩(B∪M_B) = (B∪M_B)∩(C∪M_C). 即ち三中線は一点で交わる□

この三中線の交点をこの三角形の重心 barycentre, centre of gravity, centroid という。

系

三角形の重心はその中線を頂点の方から 2 : 1 に内分する。

系

△ABC の三頂点を A(a), B(b), C(c), その重心を G(g) とすると

g = (a + b + c)/3.

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