2004 年 数学 I ・ A 問題

Sunday, 18th January, 2004.
11:35 -- 12:35 (1hr)
平均 70.25

第一問, 第二問は必答。
第三問から第五問までのうちから一問選択。
計三問を解答。

第一問 (必答 40 点)

[1] a を定数とし, 二次函数

y = -x² + (2a - 5)x - 2a² + 5a + 3

のグラフを C とする。

(1) グラフ C の頂点の座標は
((2a - [ ア ])/[ イ ], (-4a² + [ ウエ ])/4) である。

(2) グラフ C と x 軸が異なる二点で交わるための a の範囲は
-(√[ オカ ])/[ キ ] < a < (√[ オカ ])/[ キ ] … (a) である。

(3) a は (a) を満たす整数とする。 このとき, グラフ C と x 軸との二つの交点の x 座標が共に整数となるのは a = [ ク ] 又は a = [ ケコ ] の場合であり, その場合に限る。 a = [ ケコ ] の時, 交点の x 座標は [ サシ ] と [ スセ ] である。 但し, [ サシ ] と [ スセ ] は解答の順序を問わない。

[2] 一つの骰子 (さいころ) を二回続けて投げ, 出た目の数を順に a, b とするとき u = a/b と置く。

(1) u = 1 である確率は [ ソ ]/[ タ ] である。

(2) u > 1 である確率は [ チ ]/[ ツテ ] である。

(3) u が整数になる確率は [ ト ]/[ ナニ ] である。

(4) T を次で定義する。
　　　u が整数になる場合:
　　　　　　　　u が偶数ならば T = u,
　　　　　　　　u が奇数ならば T = 1
　　　u が整数にならない場合 T = 0
このとき, T の期待値は [ ヌネ ]/[ ノハ ] である。

第二問 (必答 40 点)

[1] m, n を整数とする。 x の整式

A = x³ + mx² + nx + 2m + n + 1

を考える。

(1) x の整式 B を

B = x² - 2x - 1

とする。 A を B で割ると, 商 Q と余り R はそれぞれ
Q = x + (m + [ ア ])
R = (2m + n + [ イ ])x + (3m + n + [ ウ ])
である。

又, x = 1 + √2 の時, B の値は [ エ ] であり, 更にこの時, A の値が -1 であるならば, m, n は整数だから,
m = [ オ ], n = [ カキ ]
である。

(2) 次の [ ク ] に当てはまるものを, 下の 0 から 5 のうちから一つ選べ。
x がどのような奇数であっても A の値が常に偶数になるための必要十分条件は [ ク ] となることである。

0 m が奇数 1 n が奇数 2 m - n が奇数
3 m が偶数 4 n が偶数 5 m - n が偶数

[2] 平面上に二点 O, P があり, OP = √6 である。 点 O を中心とする円 O と点 P を中心とする円 P が, 二点 A, B で交わっている。 円 P の半径は 2 であり, ∠AOP = 45°である。 このとき, 円 O の半径は
√ [ ケ ] + [ コ ] 又は √[ ケ ] - [ コ ]
である。

以下, 円 O の半径が √[ ケ ] - [ コ ] の時を考える。
AB = √[ サ ] - √[ シ ] である。

又, OA の A 側への延長と円 P との交点を C とするとき, 三角形 ABC について,∠BAC = [ スソソ]°, BC = [ タ ]√[ チ ] である。

第三問 (選択 20 点)

(1) 整数からなる等比数列 {a_n} が, a₁ + a₂ = 32, a₄ + a₅ = 864 を満たしている。 このとき
a_n = [ ア ]・[ イ ]^n-1 であり,
Σ_k=1ⁿ (a_k + 4k - 2) = [ ウ ]・[ エ ]ⁿ + [ オ ]n² - [ カ ] となる。

(2) 分数 9/37 を小数で表したときに小数第 n 位に現れる数を b_n とする。 すべての自然数 n に対して b_n+p = b_n となる最小の自然数 p は [ キ ] であり,
Σ_k=1¹⁰⁰ b_k = [ クケコ ] である。

第四問 (選択 20 点)

一辺の長さが 1 の正方形 ABCD の辺 BC を 1 : 3 に内分する点を E とする。 D を中心とする半径 1 の円と, 線分 DE との交点を F とする。 点 F に於けるこの円 D の接線と辺 AB, BC との交点をそれぞれ G, H とする。 更に歩苦戦 GE と直線 BD との交点を I とする。 [ キ ] から [ サ ] には次の 0 から F のうちから正しいものを一つずつ選べ。

0 EH 1 FD 2 FE 3 GE 4 GF 5 GH
6 GI 7 GJ 8 IE 9 JB A BEI B BIE
C EBI D EFG E FEG F FGE

(1) 点 I が △BGH の内心であることを示す。 E は BC を 1 : 3 に内分するから
EC = [ ア ]/[ イ ] である。

△ECD に於て三平方の定理 (ピタゴラスの定理) を用いれば
ED = [ ウ ]/[ エ ] となる。 よって
EF = [ オ ]/[ カ ] である。

△GBE と △GFE は直角三角形で, 斜辺 GE を共有し, BE = [ キ ] であるから △GBE ≡ △GFE が成り立つ。 故に ∠BGE = ∠[ ク ] となる。 一方
∠GBI = 45°= ∠[ ケ ]
であるから I は △BGH の内心であることが分かる。

(2) 次に, △BGH の内接円 I の半径 r を求める。 GA = GF = GB なので, G は AB の中点であることが分かる。 I から GB に下ろした垂線と GB との交点を J とする。 JI = [ コ ] = r であって, JI || BE であるから。
GB : BE = [ サ ] : JI
が成り立つ。 故に r = [ シ ]/[ ス ] となる。

第五問 (選択 20 点)

次のプログラムを考える。 但し, 120 行の THEN の後は, コロン「:」 で木々られ他複数の命令をその順に実行させるものである。

100 INPUT "A = "; A
110 INPUT "B = "; B
120 IF B <= 0 THEN PRINT "B <= 0 です。終了します。": GOTO 240
130 X = 0
140 Y = A
150 IF A < 0 THEN GOTO 200
160 IF Y < B THEN GOTO 230
170 X = X + 1
180 Y = Y - B
190 GOTO 160
200 X = X -1
210 Y = Y + B
220 IF Y < 0 THEN GOTO 200
230 PRINT "X は"; X; ", Y は"; Y; "です。"
240 END

(1) A = ? に対して 50, B = ? に対して 11 を入力すると, 170 行は [ ア ] 回, 210 行は [ イ ] 回実行され,
X は [ ウ ], y は [ エ ] です。
と表示される。

(2) A = ? に対して -50, B = ? に対して 6 を入力すると, 170 行は [ オ ] 回, 210 行は [ カ ] 回実行され,
X は [ キク ], Y は [ ケ ] です。
と表示される。

(3) A = ? に対して 14.9, B = ? に対して 2.5 を入力すると, X の値として
X は [ コ ]
と表示され, その右に Y の値として表示される数を既約分数で表すと [ サシ ]/[ ス ] となる。

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