凸函数の性質による証明。

凸函数というのは, 既に述べたのであるが, J. L. W. V. Jensen (イェンゼン, 1859 -- 1925) によって同値な定義として

f((x₁ + x₂)/2) ≦ (f(x₁) + f(x₂))/2.

が, 任意の x₁ と x₂ について成立することと与えられている。 これと任意の個数 n と全ての x_i について

f((Σ_{i = 1}ⁿx_i)/n) ≦ (f(Σ_{i = 1}ⁿx_i))/n

が成立することと同値であることを数学的帰納法で証明し, 特に f(x) = -log x が凸函数であることから, 一般に証明できるというものである。 勿論 n = 2 の場合の相加平均と相乗平均の関係の証明は既にやったように, 代数的にやっておくのである。

対数函数 f(x) = -log x が, 上記の Jensen の意味で凸であることを最初に示しておこう。

自然対数の底 e > 1 より

log ((x₁ + x₂)/2) ≧ log √(x₁x₂) = (log x1 + log x2)/2

だから両辺に -1 を掛ければ示されている。

さて, では

∀x₁∀x₂(f((x₁ + x₂)/2) ≦ (f(x₁) + f(x₂))/2)
⇔
∀n∈N∀x_i(f((Σ_{i = 1}ⁿx_i)/n) ≦ (f(Σ_{i = 1}ⁿx_i))/n)

の部分を証明しよう。 この証明は小松勇作: 解析概論 [I], 廣川書店, 数学双書 1 による。 みれば分かると思うが, 代数的にやった証明の凸函数全体への拡張になっている。

先ず ⇒ の場合。

n = 2^m の場合。

m = 1 は仮定そのものである。 数学的帰納法によって

が分かる。

一般の場合は

∀n∈N ∃m∈N (n > 1 ⇒ 2^m-1 < n ≦ 2^m)

であるから, 上記の場合を用いて

即ち

即ち

f((Σ_{i = 1}ⁿx_i)/n) ≦ (f(Σ_{i = 1}ⁿx_i))/n.

逆は明らか■

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