解答 1

[1] y = x + 1/x.

先ず x = -x を代入すれば y = (-x) + 1/(-x) = -(x + 1/x) = -y, viz. 奇函数なので, graph は原点対称である。

x > 0 とするとき, 相加平均と相乗平均の関係から
y = x + 1/x ≧ 2√(x・(1/x)) = 2.

対称性も考えて y ≦ -2, 2 ≦ y. (或いは, x ≠ 0 の時, x² - xy + 1 = 0 だから, x に関する判別式を採って D = y² - 4 ≧ 0 からもいえる。)

x = 0 の時は y が存在しない。 (逆に y = 0 とするとそのような x は存在しないが, それは値域の外に出ているので当然である。)

y' = 1 - 1/x² = (x² - 1)/x² = (x - 1)(x + 1)/x².
y'' = 2/x³.

x	…	-1	…	-0	+0	…	1	…
y'	+	0	-	+∞		-	0	+
y''	-			-∞	+∞	+
y		極大 -2		-∞	+∞		極小 2

lim_x→±∞(y/x) = lim_x→±∞(1 + 1/x²) = 1,
lim_x→±∞(y - 1・x) = lim_x→±∞(1/x) = 0.

よって y = x が漸近線。

x→0 の時のみ y→±∞ であるから, x = 0 が漸近線。

以上より, 次の graph を得る。

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[2] y = x² + 1/x.

y' = 2x - 1/x²,
y'' = 2 + 2/x³ = 2(x³ + 1)/x³ = 2(x + 1)(x² - x + 1)/x³.

y' = 0 とすれば x ≠ 0 の時, 2x³ - 1 = 0 ∴ x = 1/³√2 (≒ 0.9736986).
y'' = 0 とすると, x = -1.

x	…	-1	…	-0	+0	…	1/3√2	…
y'	-	-3	-	-∞	-∞	-	0	+
y''	+	0	-	-∞	+∞	+
y		変曲点 0		-∞	+∞		極小 3/3√4

lim_x→±∞(y/x) = lim_x→±∞(x + 1/x²) = ±∞, respectively (複号同順).
よって y 軸に平行でない漸近線は存在しない。

有限値では明らかに x → 0 の時だけ y → ±∞.

注意: 上記の y = x² の graph であるが, これは x → ±∞ の時 1/x → 0 であるから x → ±∞ の時 y = x² + 1/x 〜 x² (漸近収束 asymptotic convergence) つまり曲線自体が段々放物線に近くなっていることを示すために描いたものである。 このように一般は x → ±∞ の時に直線以外の曲線に近付いていくことがある。 それを漸近曲線 asymptotic curve という。

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[3] y = x + 1/x².

y' = 1 - 2/x³ = (x³ - 2)/x³,
y'' = 1 + 6/x⁴ > 0.

y' = 0 とすると, x = ³√2 (≒ 1.259921).

lim_x→±∞(y/x) = lim_x→±∞(1 + 1/x³) = 1,
lim_x→±∞(y - 1・x) = lim_x→±∞(1/x²) = 0.
よって y = x が漸近線 (上記の [2] の漸近収束の所を見ると, わざわざ極限を取らなくても, 漸近線は最初から分かる)。

y = 0 と置くと x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) = 0 より x = -1.

x	…	-0	+0	…	3√2	…
y'	+	+∞	-∞	-	0	+
y''	+	1+0	1+0	+
y		+∞	+∞		極小 3/3√4

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[4] x²y = 1 + x² + x³.

x = 0 ⇒ 0 = 1 で矛盾だから x ≠ 0. 故, 両辺を x² で割って,

y = 1/x² + 1 + x = 1 + x + 1/x².

y' = 1 - 2/x² = (x² - 2)/x²,
y'' = 6/x³.

lim_x→±∞(y/x) = lim_x→±∞(1 + 1/x + 1/x³) = 1,
lim_x→±∞(y - 1・x) = lim_x→±∞(1 + 1/x²) = 0.

よって y = x + 1 が漸近線。

x→0 の時 y → +∞.

graph は [3] の graph を y 軸方向に +1 だけ平行移動させればよいので省略。

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