.内容的には 「挟み撃ち」 であり, 最初は扱う予定がなかったのだが, 生徒が問題集を持ってきて質問してきたので加える。
尚, Gauß 記号については準備の所に書いてあるが, 普通は問題にその意味が書いてある (がこの page では省略してある)。
例)
[1] a, b は共に整数とし, 記号 [x] は x を超えない最大の整数を表すものとする。 このとき極限値 limn→∞ [na + b]/n を求めよ。
解) 定義から
(na + b - 1)/n < [na + b]/n < (na + b)/n.
a + (b - 1)/n < [na + b]/n < a + b/n.
ここで n → ∞とすると
a ≦ limn→∞ [na + b]/n ≦ a であるから limn→∞ [na + b]/n = a.
[2] a ≧ 1 の時 limn→∞ [a]n/[an] を求めよ。
解) i) a ∈ N (自然数) の場合は, 明かに [a]n = [an] = an だから与式 = 1.
ii) a が自然数でない場合。
k = [a], α = a - [a] (つまり k ∈ N は a の整数部分で, 0 < α < 1 は a の小数部分) と置くと, a = k + α, [a]n = kn であるから,
0 < [a]n/[an] < kn/(an - 1) < kn/((k + α)n - 1) = (k/(k + α))n / (1 - (1/(k + α))n).
そして 0 < k/(k + α) < 1, 0 < (1/(k + α) < 1 であるから, rhs → 0 as n → ∞.
従って, この場合, 与式 = 0.
(この問題が意味していることは, 小数部分のようなわずかな差でも, 何乗かしていくと, 爆発的に大きさが変わってくるということである。 金利が 0.1 % --- 最近は 0.001 % --- 単位でも変わってくるとえらく結果が変わってくることで実感できるであろう)
練習) 次の数列の極限を調べよ。
(1) {[n/3]/n}.
(2) .
(3) a ≧ 1 の時 {[a]n/[(a + 1)n]}.
解)
(1) (n/3 - 1)/n < [n/3]/n ≦ (n/3)/n = 1/3.
lhs = 1/3 - 1/n → 1/3 as n → ∞.
よって 1/3 ≦ limn→∞ [n/3]/n ≦ 1/3.
従って limn→∞ [n/3]/n = 1/3.
(2) √(n2 + n/2 - 1) - n < √(n2 + [n/2]) - n ≦ √(n2 + n/2) - n.
lhs = (n2 + n/2 - 1 - n2)/(√(n2 + n/2 - 1)
+ n)
= (n/2 - 1)/(√(n2 + n/2 - 1) + n)
= (1/2 - 1/n)/(√(1 + 1/(2n) - 1/n2) + 1) → 1/4 as n → ∞.
rhs = (n2 + n/2 - n2)/(√(n2 + n/2) + n)
= (n/2)/(√(n2 + n/2) + n)
= (1/2)/(√(1 + 1/(2n)) + 1) → 1/4 as n → ∞.
従って 1/4 ≦ limn→∞ (√(n2 + [n/2]) - n) ≦ 1/4.
故に limn→∞ (√(n2 + [n/2]) - n) = 1/4.
(3) i) a ∈ N (自然数) の場合は, 明かに [a]n = an, [(a + 1)n] = (a + 1)n. 又明かに a < a + 1 であるから a/(a + 1) < 1.
以上より limn→∞ ([a]n/[(a + 1)n]) = limn→∞ (an/(a + 1)n) = limn→∞ (a/(a + 1))n = 0.
ii) それ以外の場合, a ≧ 1 より, k = [a], α = a - [a] (つまり k ∈ N は a の整数部分で, 0 < α < 1 は a の小数部分) と置くと, a = k + α, [a]n = kn であるから,
0 < [a]n/[(a + 1)n] < kn/((a + 1)n - 1) = kn/((k + 1 + α)n - 1) = (k/(k + 1 + α))n/(1 - 1/(k + 1 + α)n).
0 < k/(k + 1 + α) < 1, 0 < 1/(k + 1 + α) < 1 より rhs → 0 as n → ∞.
従って limn→∞ ([a]n/[(a + 1)n]) = 0.