ax + by + c = 0, a2 + b2 ≠ 0
という形をしている。 さて今, P1(x1, y1) がこの直線上にあるとすれば
ax1 + by1 + c = 0
を満たす。 上記二式の差をとると a(x - x1) + b(y - y1) = 0 即ち
(a, b)・(x - x1, y - y1) = 0.
この式が意味しているのは, 最初の直線上の任意の点を P とすると P1P = (x - x1, y - y1) であるから
(a, b)⊥P1P
ということである。 即ち, vector (a, b) は元の直線と垂直である。 通常この vector を n と書きこの直線の法線ベクトル normal vector という。 点 P1 を通り, この n = (a, b) を方向ベクトルに持つ直線の方程式は直線の方程式の一般形で述べたように
b(x - x1) - a(y - y1) = 0
となる。 この直線を P1 を通る元の直線の法線という (この公式は P1 が元の直線上になくても成り立つ)。