今一つの一次変換を y = Ax で与える。 又別に 「基底の変換」 (3) に於いて x' = P-1x, y = P-1y 即ち x = Px', y = Py' と置く。 この二式を最初の式に代入して Py' = APx' 即ち
y' = P-1APx'.
従って, B = P-1AP とするとき, 行列 A と 行列 B の引き起こす一次変換は, 唯基底の取り方の違いによって見かけが異なっているだけで実は同じ変換なのだと思うことが出来る。 それ故行列 A, B が正則行列 P によって
B = P-1AP
なる関係を満たすとき, A と B は相似 similar であるといい
A〜B
と書く。 明らかに
[反射律 reflexive law] A〜A,
[対称律 symmetric law] A〜B ⇒ B〜A,
[推移律 transitive law] A〜B, B〜C ⇒ A〜C
という関係が成立する。