II (階差型): an+1 - an
= bn
⇒ an = a1 + Σk=1n-1bk,
n ≧ 2,
a1 は別記。
II': an+1 = p(n)an + q(n), ∀n(p(n) ≠ 0)
⇒
f(n) = Πk=1n p(n) = p(1)・p(2)・p(3)…p(n)
として両辺を f(n) (又は f(n+1)) で割る → type II へ。
解説
II': 先ず f(n) = f(n-1)・p(n), n ≧ 2 に着目すると
an+1/f(n) = an/f(n-1) + q(n)/f(n).
即ち an+1/f(n) - an/f(n-1) = q(n)/f(n) だから type II になっている。
例題
(1) a1 = 1, an+1 = an + n・2n.
(2) a1 = 1, an+1 = 2an + 3n.
(3) a1 = 1, an+1 = (n + 1)an + (n - 1)!.
解
(1) an+1 - an = n・2n (階差数列).
∴an = a1 + Σk=1n-1 k・2k, n ≧ 2.
S - rS 法により Σk=1n k・2k = (n - 1)・2n+1 + 2. 従って Σk=1n-1 k・2k = (n - 2)・2n + 2.
∴an = 1 + (n - 2)・2n + 2 = (n - 2)・2n + 3.
これは n = 1 の場合をも含んでいる。
(2) 与式の両辺を 2n+1 で割ると
an+1/2n+1 = an/2n + 3n/2n+1.
∴an+1/ 2n+1 - an/ 2n = (1/2)・(3/2)n.
∴an/ 2n = a1/21 + Σk=1n-1
(1/2)・(3/2)k, n ≧ 2
= 1/2 + (1/2)・((3/2)((3/2)n-1 - 1)/(3/2 - 1)
= 1/2 + (3/2)n - 3/2
= 3n/ 2n - 1.
∴an = 3n - 2n.
これは n = 1 の場合をも含んでいる。
[別解 1]
両辺を 3n で割ると an+1/3n = 2an/3n + 1.
∴3(an+1/3n+1) = 2 an/3n + 1. → type I. (以下略)
[別解 2]
an+1 + α・3n+1 = 2(an + α・3n) と置くと (type I' の注) α = -1 が分かる → 等比数列
(3) 両辺を (n+1)! で割ると
an+1/(n+1)! = an/n! + 1/(n(n-1)).
∴an/n! = a1/1! + Σk=1n-1 (1/(k(k-1))), n ≧ 2.
Σk=1n (1/(k(k + 1))) = n/(n + 1) [ここの例 (2)] により,
an/n! = 1 + (n-1)/n = (2n - 1)/n, n ≧ 2.
∴an = (2n - 1)・(n - 1)!.
これは n = 1 の場合をも含んでいる。
練習
(1) a1 = 1, an+1 = an + n/2n+1.
(2) a1 = 1, (n + 1)an+1 = an + 1/(n - 1)!.
答
(1) an = (n + 1)/2n.
(2) an = (n2 - n + 2)/(2・n!).