和の記号 Σ とその公式

和の記号 Σ に関しては, 既に第一部準備のところで述べたが, もう一度定義を書くと

Σ_k=1¹a_k = a₁,
Σ_k=1ⁿa_k = a_n + Σ_k=1^n-1a_k, n > 1.

言い換えると

Σ_k=1ⁿa_k = a₁ + a₂ + … + a_n

である。

公式:

1. i, j, k, ... が n と無関係ならば
   Σ_i=1ⁿa_i = Σ_j=1ⁿa_j = Σ_k=1ⁿa_k = ….
2. c が無効添字 (dummy index) k と無関係な定数ならば
   Σ_k=1ⁿc = cn.
3. Σ_k=1ⁿk = n(n + 1)/2.
4. Σ_k=1ⁿk² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
5. Σ_k=1ⁿk³ = (n(n + 1)/2)².
6. [線型性] p, q を無効添字 (dummy index) k と無関係な定数ならば
   Σ_k=1ⁿ(pa_k + qb_k) = pΣ_k=1ⁿa_k + qΣ_k=1ⁿb_k.
7. r ≠ 1 ⇒ Σ_k=1ⁿr^k = r(rⁿ - 1)/(r - 1).

[証明]

1 は明らかであろう。 既に公式中に書いてあるが, k という文字は和を表すためにだけ導入された文字だから, 無効添字 dummy index と呼ばれている。

2. ∀k(a_k = c) (viz. 定数列) だから

Σ_k=1ⁿa_k = a₁ + a₂ + … + a_n = c + c + … + c, (n 個)
= cn.

数学的帰納法でやれば, n = 1 の時は明らかで

Σ_k=1ⁿc = c + Σ_k=1^n-1c = c + c(n - 1) = cn.

3. これは a_n が初項 1, 公差 1 の等差数列だから, 等差数列の公式から明らか。

4. これの証明はここでやったので省略。

5. 4. の証明をならって,
(k - 1)k(k + 1)(k + 2) - (k - 2)(k - 1)k(k + 1)
= (k - 1)k(k + 1)(k + 2 - (k - 2))
= 4(k - 1)k(k + 1)
= 4(k³ - k)
から始める。

従って,
4(Σ_k=1ⁿk³ - n(n + 1)/2) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2),
4Σ_k=1ⁿk³ - 2n(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2),

4Σ_k=1ⁿk³ = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 2n(n + 1)
= n(n + 1)((n - 1)(n + 2) + 2) = n(n + 1)(n² + n - 2 + 2)
= n(n + 1)(n² + n) = n²(n + 1)².
あとは両辺を 4 で割ればよい。

数学的帰納法でやれば, n = 1 の時は

rhs = (1×(1 + 1)/2)² = 1 = lhs.

だから良い。 帰納法の仮定となる式を出しておこう。

先ず Σ_k=1^mk³ = (m(m + 1)/2)² と上限 (上端) の文字を換えておいて, ここに m = n - 1 を代入する。 そうすると Σ_k=1^n-1k³ = ((n - 1)((n - 1) + 1)/2)² = (n(n - 1))/2)² = ((n - 1)n)/2)² (以下ではこのような番号ずらしの technique については省略する)。

従って
Σ_k=1ⁿk³ = n³ + Σ_k=1^n-1k³
= n³ + ((n - 1)n)/2)² = n³ + n²(n - 1)²/4 = (4n³ + n²(n - 1)²)/4
= n²(4n + n² - 2n + 1)/4 = n²(n² + 2n + 1)/4 = (n(n + 1)/2)².

6. Σ_k=1ⁿ(pa_k + qb_k) = (pa₁ + qb₁) + (pa₂ + qb₂) + … + (pa_n + qb_n)
= (pa₁ + pa₂ + … + pa_n) + (qb₁ + qb₂ + … + qb_n)
= p(a₁ + a₂ + … + a_n) + q(b₁ + b₂ + … + qb_n)
= pΣ_k=1ⁿa_k + qΣ_k=1ⁿb_k.

数学的帰納法でやれば, n = 1 の時は明らかだから

Σ_k=1ⁿ(pa_k + qb_k) = (pa_n + qb_n) + Σ_k=1^n-1(pa_k + qb_k)
= pa_n + qb_n + pΣ_k=1^n-1a_k + qΣ_k=1^n-1b_k
= pa_n + pΣ_k=1^n-1a_k + qb_n + qΣ_k=1^n-1b_k
= pΣ_k=1ⁿa_k + qΣ_k=1ⁿb_k.

7. Σ_k=1ⁿr^k = r + r² + r³ + … + rⁿ.

これは初項 r, 公比 r の等比数列の和だから明らか。 そこで宿題扱いにした数学的帰納法による証明を掲げておく。

n = 1 の時は両辺とも 1 になるのでよろしい。 n > 1 の時

Σ_k=1ⁿr^k = rⁿ + Σ_k=1^n-1r^k = rⁿ + r(r^n-1 - 1)/(r - 1) = rⁿ + (rⁿ - r)/(r - 1)
= (rⁿ(r - 1) + rⁿ - r)/(r - 1) = (rⁿ⁺¹ - rⁿ + rⁿ - r)/(r - 1)
= (rⁿ⁺¹ - r)/(r - 1) = r(rⁿ - 1)/(r - 1).

よくやる間違いだが線型性 6 は成立するが, Σ という記号は足算の省略記号なので和と差については良い性質を示すが, 積や商に関してはあまり相性がよくない, 即ち (一方が定数列であるとか, 偶然成立する場合を除いて)

Σ_k=1ⁿ(a_k・b_k) ≠ (Σ_k=1ⁿa_k)・(Σ_k=1ⁿb_k)
Σ_k=1ⁿ(a_k/b_k) ≠ ( Σ_k=1ⁿa_k)/(Σ_k=1ⁿb_k)

例:

(1) Σ_k=1ⁿ k(k + 1) = Σ_k=1ⁿ (k² + k) = Σ_k=1ⁿ k² + Σ_k=1ⁿ k
= n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2
= n(n + 1)(2n + 1)/6 + 3n(n + 1)/6
= n(n + 1)(2n + 1 + 3)/6
= n(n + 1)(2n + 4)/6
= n(n + 1)・2(n + 2)/6 = n(n + 1)(n + 2)/3.

(2) Σ_k=1ⁿ (1/(k(k + 1)))
= Σ_k=1ⁿ (1/k - 1/(k + 1)) … 部分分数への分解
= (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/n - 1/(n + 1)) … Σ の定義
= 1 - 1/(n + 1)
= (n + 1 - 1)/(n + 1) = n/(n + 1).

このような technique を日本では 「将棋倒し」, 西洋では 「望遠鏡的和」 というようである。

正しくは数学的帰納法を用いるべきであろう。 やってみると, 上記のようになると推定しておいて, n = 1 の時は両辺とも 1/2 になることを確認しておいて, n > 1 の時

Σ_k=1ⁿ (1/(k(k + 1))) = 1/(n(n + 1)) + Σ_k=1ⁿ (1/(k(k + 1)))
= 1/(n(n + 1)) + (n - 1)/n = 1/(n(n + 1)) + (n - 1)(n + 1)/(n(n + 1))
= (1 + (n - 1)(n + 1))/(n(n + 1))
= (1 + n² - 1)/(n(n + 1))
= n²/(n(n + 1)) = n/(n + 1).

だから証明された。

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