写像の合成と行列の積

集合 A, B, C と, 写像 f: A→B, g: B→C が与えられているとき x ∈ A に対し

(g_°f)(x) = g(f(x))

で定まる写像 g_°f: A→C を f と g の合成写像 composition という。

合成写像の表記の仕方は著者によって著しく違う。上記のものが一番一般的だが gf と書いてしまう場合, (fg)(x) = g(f(x)) と逆順になっているもの, xfg = g(f(x)) という形に表記するものなどまちまちである。

もしも f も g も共に一次変換ならば, g_°f も一次変換となり, これを f と g の合成変換と呼ぶ。実際

(g_°f)(kx + my) = g(f(kx + my))
= g(kf(x) + mf(y))
= kg(f(x)) + mg(f(y))
= k(g_°f)(x) + m(g_°f)(y).

以下同様にして次のことが確かめられる。但し I は恒等変換である。

I_°f = f_°I = f,
0_°f = f_°0 = 0,
(f_°g)_°h = f_°(g_°h),
(f + g)_°h = f_°h + g_°h,
f_°(αg) = (αf)_°g = α(f_°g).

さて次に, f を表す行列を A = (a_jk), g を表す行列を B = (b_jk) として f_°g を表す行列を考えよう。

(x', y') = g(x, y), (x'', y'') = f(x', y') (= (f_°g)(x, y))

とすると, A, B の決め方から

x' = b₁₁x + b₁₂y,
y' = b₂₁x + b₂₂y;

x'' = a₁₁x' + a₁₂y',
y'' = a₂₁x' + a₂₂y'

となる。上の二組を下の二組に代入すると

x'' = a₁₁(b₁₁x + b₁₂y) + a₁₂(b₂₁x + b₂₂y)
= (a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁)x + (a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂)y,

y'' = a₂₁(b₁₁x + b₁₂y) + a₂₂(b₂₁x + b₂₂y)
= (a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁)x + (a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂)y

であるから, f_°g を表す行列は

= (a_j1b_1k + a_j2b_2k)

で定まる。この行列を A と B の積 product といい AB と書く。即ち

(a_jk)(b_jk) = (a_jd)(b_dk) = (a_j1b_1k + a_j2b_2k).

つまり, 前の方の行列の行が, 積の行を決めて, 後ろの方の行列の列が, 積の列を決定している (標語的に言えば行列の積だから「行」掛ける「列」だというわけである)。真ん中の所を見ると d のところを 1, 2 と変えて和をとったものになっている。この d は和をとるための添字だと考えられ, これを dummy index (無効添字) と呼ぶ。

この定義から, この page の上半分に対応して, 次の各々が対応する。但し I₂ は二次単位行列である。

I₂A = AI₂ = A,
0A = A0 = 0,
(AB)C = A(BC),
A(B + C) = AB + AC,
(A + B)C = AC + BC,
A(αB) = (αA)B = α(AB).

この中で一番大事なのは上から三番目の結合法則である。これだけを確認しておこう。今 A = (a_jk), B = (b_jk), C = (c_jk) とするとき, 定義によって

(AB)C = (a_j1b_1k + a_j2b_2k)(c_jk) = (a_j1b_1d + a_j2b_2d)(c_dk)
= ((a_j1b₁₁ + a_j2b₂₁)c_1k + (a_j1b₁₂ + a_j2b₂₂)c_2k)
= (a_j1b₁₁c_1k + a_j2b₂₁c_1k + a_j1b₁₂c_2k + a_j2b₂₂c_2k),

A(BC) = (a_jk)(b_j1c_1k + b_j2c_2k) = (a_jd)(b_d1c_1k + b_d2c_2k)
= (a_j1(b₁₁c_1k + b₁₂c_2k) + a_j2(b₂₁c_1k + b₂₂c_2k))
= (a_j1b₁₁c_1k + a_j1b₁₂c_2k + a_j2b₂₁c_1k + a_j2b₂₂c_2k).

従って証明された。

もしかすると, 分配法則 A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC はどちらか一方で良いと思った人がいるかもしれない。しかし実は f_°g と g_°f は一般には等しくない (等しくないことが多い, 等しいことは稀 (まれ) である)。従って一般には AB と BA は等しくない (可換でない, 非可換である)。実際

(a_jk)(b_jk) = (a_jd)(b_dk) = (a_j1b_1k + a_j2b_2k)

と

(b_jk)(a_jk) = (b_jd)(a_dk) = (b_j1a_1k + b_j2a_2k) = (a_1kb_j1 + a_2kb_j2)