三次元の vectors

空間上の二点を結び, 有向線分を考える。長さについては平面ベクトルの定義と相等と同様。 又相等についても

A, B, C, D が同一直線上にあるときは:
|AB| = |CD| で且つ向きが等しいとき AB = CD.

D ∈ A∪B∪C の時は定義に従って AB = CD を定め, それ以外の時は AB ≠ CD と定める。

それ以下の議論は平行して行うことが出来, 平面ベクトルの定義と相等, 基本演算と同様に次の各々の性質が成り立つ。

1. (a + b) + c = a + (b + c)
2. a + 0 = 0 + a = a..
3. a + (-a) = (-a) + a = 0.
4. a + b = b + a.
5. k(a + b) = ka + kb.
6. (km)a = k(ma).
7. (k +　m)a = ka + ma.
8. 1a = a.

しかし平行と一次独立に述べた

a || b ⇔ ∃k∃m(|k|² + |m|² ≠ 0 & ka = mb)

は成立するが, k₁a + k₂b + k₃c = 0 とするときは平面の時と異なって k₁ = k₂ = k₃ = 0 となる場合がある。 もしもこの時全ての a, b, c に対して (k₁, k₂, k₃) ≠ (0, 0, 0) とすると, 例えば k₃ ≠ 0 の時 c = -(k₁/k₃)a - (k₂/k₃)b となって, 平面上のベクトルになってしまうからである。

こうして三次元空間のベクトルの基底として {a₁, a₂, a₃} が採れる。 即ち

∃a₁∃a₂∃a₃(V³ = Ra₁Å Ra₂ÅRa₃).

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