ここで固有値と固有ベクトルに関連して, 一寸本筋からはずれるが, 不動点と不動直線について述べる。
定義
f を一次変換とする。
- 点 P(p) が存在して f(p) = p となるとき, P を f の不動点 fixed point, fixpoint という。
- 直線 l が存在して, l 上の任意の点 P(p) に関し f(p) ∈ l となるとき, l を f の不動直線 fixed line という。
初めに不動点について考察しよう。 以下 f を表す行列を A = (ajk) とする。
不動点 P(p) とする (以下点の座標とその位置ベクトルを列ベクトルで表して同一視する)。 明らかに A がどのような行列であろうとも, O(0) は不動点であるから, 以下それを除く。 定義から
p = Ap
で, これはよく見ると, p が A の固有値 1 の固有ベクトルになっていることを表す。 逆に, 固有値 1 の固有ベクトルが存在すれば, そのベクトルを位置ベクトルに持つ点は不動点である。即ち, 一次変換 f に原点以外の不動点が存在するためには, f を表す行列 A が固有値 1 を持つことが必要十分である。
今度は l: px + qy + r = 0, (p2 + q2 ≠ 0) と置こう。 P(x, y) の f による像 P'(x', y') は
x' = a11x + a12y,
y' = a21x + a22y
である。 この像 P'(x', y') も亦 l の式を満たさねばならないから代入して
p(a11x + a12y) + q(a21x + a22y) +
r = 0,
(pa11 + qa21)x + (pa12 + qa22)y + r
= 0
で, これが元の l と同一の直線の式を表しているのだから, ある t が存在して
pa11 + qa21 = tp,
pa12 + qa22 = tq,
r = tr
である。 つまり n = (p, q) とすると nA = tn つまり法線ベクトル n は固有値 t の行固有ベクトル (普通の述べ方をすれば, 法線ベクトル n は A の転置行列の固有ベクトル)。 固有値が 1 の時は, 原点を通らない不動直線が存在するが, 固有値として 1 を持たないときは原点を通る不動直線しか存在しない。
この述べ方だと分かりにくいが, 実は不動直線の方向ベクトルが, A の固有ベクトルになっている (それは容易に想像がつくだろう)。 しかし直線のベクトル方程式にすると, 固有値 1 との関係が分かりにくくなってしまうのでこの述べ方にした。 尚, この辺をちゃんと書いた page 「不動直線」 を紹介しておく。
例:
[1] 一次変換 f が
x' = ax + (4 - a)y,
y' = 2x + (a - 1)y
で表されるとき, f(P) = P となる点 P が原点以外にも存在するための a の値を求め, その a の値に応じて動く点 P の軌跡を求めよ。
解: P(x, y) と置くと
x = ax + (4 - a)y,
y = 2x + (a - 1)y
即ち
(a - 1)x + (4 - a)y = 0,
2x + (a - 2)y = 0.
従って, これが 0 以外の解を持つのだから
(a - 1)(a - 2) - 2(4 - a) = a2 - 3a + 2 + 2a - 8 = a2 - a - 6 = (a + 2)(a - 3) = 0.
即ち a = -2, 3.
(1) a = -2 の時,
-3x + 6y = 0,
2x -4y = 0.
どちらも x = 2y を表しているので, 求める軌跡は x = 2y.
(2) a = 3 の時
2x + y = 0
より, y = -2x.
[2] 一次変換 f が
x' = 3x + 4y,
y' = x + 3y
で表されるとき, この変換によって自分自身に写される直線 l の方程式を求めよ。
解: 上述のように, f を表す行列 A の固有方程式を考えると
ΦA(t) = t2 - 6t + (3×3 - 1×4) = t2 - 6t + 5 = (t - 1)(t - 5) = 0
より, 固有値は 1 と 5. 上述のように l: px + qy + r = 0, (p2 + q2 ≠ 0) と置くと
3p + q = pt,
4p + 3q = qt,
r = rt
である。
(1) t = 1 の時:
2p + q = 0,
4p + 2q = 0,
r = r
だから, q = -2p (p ≠ 0) で r は任意。 即ち px - 2py + r = 0. p ≠ 0 なので, p で割って, r/p = k と置くと
x - 2y + k = 0. (k は任意の定数)
(2) t = 5 の時:
-2p + q = 0,
4p - 2q = 0
r = 5r.
だから, q = 2p (p ≠ 0), r = 0. 即ち px + 2py = 0. 即ち x + 2y = 0.